Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/39

${\begin{aligned}&+{\frac {m}{r}}\mathrm {D} \rho ^{p+3q-r}+{\frac {m(m+2p+2q-r)}{2r^{2}}}\mathrm {D} _{1}\rho ^{2p+2q-2r}\\&\quad +{\frac {m(m+3p+q-r)(m+3p+q-2r)}{2.3.r^{3}}}\mathrm {D} _{2}\rho ^{3p+q-3r}\\&\quad +{\frac {m(m+4p-r)(m+4p-2r)(m+4p-3r)}{2.3.4.r^{4}}}\mathrm {D} _{3}\rho ^{4p-4r}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et si l’on suppose $\psi (y)=\log y,$ ce qui donne

$\psi \left({\frac {x^{r}}{\rho ^{r}}}\right)=\log {\frac {x^{r}}{\rho ^{r}}}=r\log {\frac {x}{\rho }},$

on aura, en divisant par $r,$

${\begin{aligned}\log {\frac {x}{\rho }}=&{\frac {1}{r}}\mathrm {A} \rho ^{p-r}\\&+{\frac {1}{r}}\mathrm {B} \rho ^{p+q-r}+{\frac {2p-r}{2r^{2}}}\mathrm {B} _{1}\rho ^{2p-2r}\\\\&+{\frac {1}{r}}\mathrm {C} \rho ^{p+q-r}+{\frac {2p+q-r}{2r^{2}}}\mathrm {C} _{1}\rho ^{2p+q-2r}+{\frac {3p-r}{2.3.r^{3}}}\mathrm {C} _{2}\rho ^{3p-3r}\\\\&+{\frac {1}{r}}\mathrm {D} \rho ^{p+3q-r}+{\frac {2p+2q-r}{2r^{2}}}\mathrm {D} _{1}\rho ^{2p+q-2r}\\&\quad +{\frac {(3p+q-r)(3p+q-2r)}{2.3.r^{3}}}\mathrm {D} _{2}\rho ^{3p+q-3r}\\&\quad +{\frac {(4p-r)(4p-2r)(3p-2r)}{2.3.4.r^{4}}}\mathrm {D} _{3}\rho ^{4p-4r}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

23. Les formules que nous venons de trouver dans les deux derniers Exemples doivent être bien remarquées, tant à cause de leur généralité que parce qu’elles peuvent être très-utiles dans la recherche des différentes racines des équations ; ce qui fera l’objet du § III.

Mais, avant d’y passer, nous croyons devoir encore faire une observation touchant les coefficients $\mathrm {A,B,B_{1}} ,\ldots \,;$ c’est que ces coefficients ne dépendent nullement de la quantité, mais seulement des autres quantités $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots \,;$ de sorte que nos séries seront toujours d’elles-mêmes