troisième et du second degré ; et ces valeurs étant connues on aura celles des quatre racines cherchées par la résolution des deux équations précédentes du second degré.
Tel est le principe général auquel se rapportent la plupart des méthodes pour la résolution des équations du quatrième degré, comme on peut le voir par l’analyse que nous en avons donnée dans la Section II.
En effet, si l’on fait
![{\displaystyle \varphi \left[(x',x'')\right]=x'+x''\quad {\text{et}}\quad f\left[(y',y'')\right]=(y'-y'')^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7109b13c1f9b963d5390c7e2922087482182fc07)
il en résultera la solution du no 32, et faisant
![{\displaystyle \varphi \left[(x',x'')\right]=x'x''\quad {\text{et}}\quad f\left[(y',y'')\right]=y'+y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ba82a8f434ccb8dfad403f52c0a1656ecd281e)
il en résultera celle du no 31 et ainsi des autres.
108. On peut encore dériver la résolution des équations du quatrième degré d’un autre principe, en faisant une combinaison différente des vingt-quatre fonctions du no 106. Car, si l’on suppose d’abord
![{\displaystyle f\left[(x')(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]=f\left[(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b210cea846f8ada2efa1ea22ef7dbe738a4d1751)
c’est-à-dire que la fonction demeure la même en y changeant à la fois 
en 
en 
en 
et en 
on trouvera ensuite
![{\displaystyle f\left[(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right]=f\left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ed02761be8f175ed0446735b2e8fea472cdab6)
et de là
![{\displaystyle f\left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')\right]=f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')(x''')\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f728a9f859fac13c9215988ecc40a9f4d017677)
et enfin
![{\displaystyle f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')(x''')\right]=f\left[(x')(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e902a8bf2df751a2419915c658c6c4ce50bbd4d)
de sorte que les fonctions
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}f\left[(x')(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],&f\left[(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right],\\f\left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')\right],&f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')(x''')\right],\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7ffd42b9bb9923c7349a430b2988dc37d8c093)
seront égales, et qu’il n’y aura que ces quatre qui le seront ; d’où il s’ensuit que les quatre fonctions dont il s’agit seront égales quatre à quatre, ce qui conduira d’abord à une équation du sixième degré.
