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siste cependant en y changeant, par exemple, $x'$ en $x'',$ alors on verra par le numéro cité que les deux racines $x',x''$ dépendront nécessairement d’une équation du second degré, telle que

$x^{2}-ax+b=0,$

dont les coefficients $a$ et $b$ seront commensurables.

3^o De même, si l’équation en question est telle, qu’elle soit vraie aussi lorsqu’on y change $x'$ en $x''$ et en $x''',$ les trois racines $x',x'',x'''$ dépendront alors d’une équation du troisième degré, telle que

$x^{3}-ax^{2}+bx-c=0,$

où les coefficients $a,b,c$ seront commensurables, et ainsi de suite.

4^o Si l’équation qui n’a lieu que d’une seule manière entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )},$ comme dans le premier cas, a lieu aussi en même temps entre les racines $x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)},x^{(\lambda +3)},\ldots ,x^{(2\lambda )},$ alors, comme la fonction $f\left[(x')(x'')(x''')\ldots (x^{(\lambda )})\right]$ demeure la même en y changeant $x'$ en $x^{(\lambda +1)},$ $x''$ en $x^{(\lambda +2)},\ldots ,$ il est clair que les racines $x',x^{(\lambda +1)}$ dépendront d’une équation du second degré, comme

$x^{2}-\alpha x+\beta =0,$

où $\alpha$ et $\beta$ seront commensurables ; et il en sera de même des racines $x'',x^{(\lambda +2)},$ des racines $x''',x^{(\lambda +3)},$ et ainsi des autres.

De même, si l’équation a lieu également entre les racines $x',x'',x''',$$\ldots ,x^{(\lambda )},$ entre les racines $x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)},x^{(\lambda +3)},\ldots ,x^{(2\lambda )}$ et entre les racines $x^{(2\lambda +1)},x^{(2\lambda +2)},x^{(2\lambda +3)},\ldots ,x^{(3\lambda )},$ alors les racines $x',x^{(\lambda +1)},$$x^{(2\lambda +1)}$ dépendront d’une équation du troisième degré, telle que

$x^{3}-\alpha ^{2}x+\beta x-\gamma =0,$

où $\alpha ,\beta ,\gamma$ seront commensurables ; et il en sera de même des racines $x'',x^{(\lambda +2)},x^{(2\lambda +2)},$ des racines $x''',x^{(\lambda +3)},x^{(2\lambda +3)},$ et ainsi de suite.

5^o Mais si l’équation qui, comme dans le deuxième cas, a lieu de deux manières différentes entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )},$ avait lieu de