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même entre les racines $x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)},x^{(\lambda +3)},\ldots ,x^{(2\lambda )},$ alors on aurait pareillement pour les racines $x',x''$ l’équation du second degré

$x^{2}-a'x+b'=0,$

et de même pour les racines $x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)}$ l’équation du second degré

$x^{2}-a''x+b''=0,$

où les coefficients analogues $a',a''$ seraient racines d’une autre équation du second degré, telle que

$a^{2}-\alpha a+\beta =0,$

$\alpha$ et $\beta$ étant commensurables ; et il en serait de même des coeffieients $b'$ et $b''.$

Et, si la même équation avait lieu aussi parmi les racines $x^{(2\lambda +1)},x^{(2\lambda +2)},$$x^{(2\lambda +3)},\ldots ,x^{(3\lambda )},$ alors on aurait pour les racines $x',x''$ l’équation

$x^{2}-a'x+b'=0,$

pour les racines $x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)}$ l’équation

$x^{2}-a''x+b''=0,$

et pour les racines $x^{(2\lambda +1)},x^{(2\lambda +2)}$ l’équation

$x^{2}-a'''x+b'''=0,$

où les coefficients $a',a'',a'''$ seraient eux-mêmes racines de l’équation

$a^{3}-\alpha ^{2}a+\beta a-\gamma =0,$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ étant commensurables ; et il en serait de même des coefficients $b',b'',b'''.$

Et ainsi de suite.

6^o On fera le même raisonnement sur le troisième cas, où l’on suppose que la même équation ait lieu entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )}$ en y changeant $x'$ en $x'',$ en $x'''\,;$ car, si cette équation subsiste également entre les racines $x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)},x^{(\lambda +3)},\ldots ,x^{(2\lambda )},$ alors les racines $x',x'',x'''$