en y mettant
à la place de
d’où il s’ensuit que si
en est une racine,
I
en sera une aussi, de sorte qu’on aura
c’est-à-dire
par la même raison on aura ![{\displaystyle x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a18e7fab9ecffb8bd89720680346766d50a889b)
On a donc, dans ce cas, une équation entre les racines
qui subsiste aussi en changeant
en
et qui a lieu de même entre les racines
entre
Donc, ces racines seront renfermées deux à deux dans les équations suivantes, dont le nombre sera
ou
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-a'x\ \ +1&=0,\\x^{2}-a''x\ +1&=0,\\x^{2}-a'''x+1&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad9f669b76de70028623b5901353944cea907e7)
les coefficients
étant racines d’une même équation du degré
ou
suivant que
sera pair ou impair, comme nous l’avons déjà démontré par une méthode particulière (22). Voyez aussi sur ce sujet, outre les Miscellanea analytica de M. Moivre, le tome Ier des Commentaires de Bologne, et le tome VI des anciens Commentaires de Pétersbourg.
Au reste on peut, par les principes établis ci-dessus, rendre raison pourquoi la substitution de
que nous avons employée dans le numéro cité doit conduire à une réduite du degré
lorsque
est pair. Car il est clair que les valeurs de
c’est-à-dire les racines de l’équation en
seront
![{\displaystyle x'+{\frac {1}{x'}},\quad x''+{\frac {1}{x''}},\quad x'''+{\frac {1}{x'''}},\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+{\frac {1}{x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee15687f1f70421e80ebf8a2694163925c19ec96)
mais on a
donc ces racines seront
![{\displaystyle x'+{\frac {1}{x'}},\quad x'+{\frac {1}{x'}},\quad x'''+{\frac {1}{x'''}},\quad x'''+{\frac {1}{x'''}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba41c7cadd743ed726a0206cf31681511999c38)