Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/408

dépendront de l’équation du troisième degré

$x^{3}-a'x^{2}+b'x-c'=0,$

et les racines $x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)},x^{(\lambda +3)}$ de l’équation analogue

$x^{3}-a''x^{2}+b''x-c''=0,$

où les coefficients $a'$ et $a''$ seront donnés par l’équation du second degré

$a^{2}-\alpha a+\beta =0,$

$\alpha$ et $\beta$ étant rationnels ; et il en sera ainsi des coefficients $b',b''$ et $c',c''.$

Par la même raison, si l’équation dont il s’agit subsistait aussi entre les racines $x^{(2\lambda +1)},x^{(2\lambda +2)},x^{(2\lambda +3)},\ldots ,x^{(3\lambda )},$ on aurait de plus pour les trois racines $x^{(2\lambda +1)},x^{(2\lambda +2)},x^{(2\lambda +3)}$ l’équation

$x^{3}-a'''x^{2}+b'''x-c'''=0,$

et les coefficients $a',a'',a'''$ seraient dans ce cas les racines de l’équation du troisième degré

$a^{3}-\alpha a^{2}+\beta a-\gamma =0,$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ étant rationnels ; il en serait de même des coefficients $b',b'',b'''$ et $c',c'',c'''.$

On voit assez par là les conséquences analogues que l’on peut tires pour les autres cas ; on doit seulement se souvenir que ces conclusions peuvent souffrir quelques exceptions dans les cas particuliers des racines égales (104).

112. Pour éclaircir ce que nous venons de dire par quelques exemples, considérons d’abord les équations qu’on appelle réciproques, et qui sont telles, que les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux, de cette manière

$x^{\mu }+mx^{\mu -1}+nx^{\mu -2}+\ldots +nx^{2}+mx+1=0\,;$

il est visible, par la forme de cette équation, qu’elle demeure la même