Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/411

deux dernières, donnent celles-ci

$x\left(1+r+r^{2}+r^{3}\right)=a,\quad x^{2}\left(1+r^{2}+r^{4}+r^{6}\right)=b^{2},$

d’où il ne s’agira plus que d’éliminer $r.$

Pour faciliter cette élimination je multiplie la première par $1-r,$ et la seconde par $1-r^{2},$ j’ai ainsi

$x\left(1-r^{4}\right)=a(1-r),\quad x^{2}\left(1-r^{8}\right)=b^{2}\left(1-r^{2}\right),$

et, divisant cette dernière par l’autre, j’aurai

$x\left(1+r^{4}\right)={\frac {b^{2}(1+r)}{a}}\,;$

de sorte qu’on aura maintenant ces deux-ci

$x\left(1-r^{4}\right)=a(1-r),\quad x\left(1+r^{4}\right)={\frac {b^{2}}{a}}(1+r),$

d’où il est facile de tirer

${\begin{aligned}r\ =&{\frac {a^{2}+b^{2}-2ax}{a^{2}-b^{2}}},\\r^{4}=&{\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{\left(a^{2}-b^{2}\right)x}}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue maintenant la valeur de $r,$ que donne la première de ces équations, dans la seconde, on aura une équation finale en $x$ qui, étant développée, montera au cinquième degré, mais si l’on substitue la même valeur de $r$ dans l’équation primitive

$x\left(1+r+r^{2}+r^{3}\right)=a,$

on en aura une en $x$ qui ne montera qu’au quatrième, et qui sera l’équation la plus simple qu’on puisse avoir pour la détermination de l’inconnue $x.$

Je vais prouver maintenant, sans connaître même la forme de cette équation, qu’elle doit être décomposable en deux équations du second degré, moyennant une autre équation du second degré aussi.

Pour cela, je remarque que si, au lieu de chercher l’inconnue $x,$ on