eût cherché l’inconnue
on serait tombé dans une équation semblable ; car, faisant
on aurait
et
de sorte que les équations en
et
seraient
![{\displaystyle u\left(1+s+s^{2}+s^{3}\right)=a,\quad u^{2}\left(1+s^{2}+s^{4}+s^{6}\right)=b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac114d446eb4180f9d71021ce434f522f223f57)
c’est-à-dire entièrement semblables aux équations en
et
D’où je conclus d’abord que la valeur de l’inconnue
sera nécessairement aussi une des racines de l’équation en
trouvée ci-dessus.
Or, on a
et, divisant la valeur de
trouvée ci-dessus, par celle de
on a
![{\displaystyle r^{3}={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{x\left(a^{2}+b^{2}-2ax\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87127becc11a71f20534f2dda87566a47d0faaf)
par conséquent,
![{\displaystyle u={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{a^{2}+b^{2}-2ax}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0cf71378df7d0834b2d78e743c6479c5809e6d)
Ainsi, si l’on dénote par
les quatre racines de l’équation en
dont il s’agit, ces racines seront telles, qu’on aura
![{\displaystyle x''={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x'}{a^{2}+b^{2}-2ax'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1996fcc031cb3042075dc671ff0b49d920db452a)
c’est-à-dire
![{\displaystyle 2ax'x''-\left(a^{2}+b^{2}\right)(x'+x'')+2ab^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb3ab80b3a5a334d8a778a1361e10e11e17f4ede)
or, il n’y a pas plus de raison pour que cette équation subsiste entre les deux racines
qu’entre les deux autres
par conséquent on aura aussi
![{\displaystyle 2ax'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+2ab^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22cc9654fcf48bf8ec5ac9ad455e2dad0104f60a)
Voilà donc deux équations semblables qui ont lieu entre les racines
et
et qui sont de plus telles, qu’elles ne changent point en changeant
en
et
en
donc, par le no 111, on pourra sûrement décomposer l’équation en question du quatrième degré en deux autres du second degré, telles que
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-f'\ x+g'\ =&0,\\x^{2}-f''x+g''=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4053d8c971d3eee8c578664de2326ffbbc6c2e5c)