On prouvera maintenant, par un raisonnement semblable à celui qu’on a fait plus haut, que le premier terme
et le dernier
de la progression continue devront être également racines de l’équation précédente mais en divisant la valeur de
par celle de
on a
![{\displaystyle r^{\mu -1}={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{x\left(a^{2}+b^{2}-2ax\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ebe05219b2248bfb4c60b04ff12d9961ac8d65)
donc
![{\displaystyle r^{\mu -1}x={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{a^{2}+b^{2}-2ax}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25eeb2eb3b845e7b9979cd2e11bceeac5e448699)
De là, en nommant
les racines de l’équation précédente, on aura cette condition, entre les deux racines ![{\displaystyle x',x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce49d201020327a47ec5b0e346886185b3f2a10f)
![{\displaystyle 2ax'x''-\left(a^{2}+b^{2}\right)(x'+x'')+2ab^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bec6e4660b215dd052492c6d303c054cb636d1)
et comme il n’y a pas plus de raison pour qu’une telle relation ait lieu entre les racines
qu’entre les racines
ou
ou, etc., on aura de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}2ax'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+2ab^{2}&=0,\\2ax^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,+x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\right)+2ab^{2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e495b95ca5db829fa7cab8a7b60c810cfef994d5)
le nombre des équations étant
ou
suivant que
sera pair ou impair.
D’où, et de ce qu’on a démontré dans le no 111, il s’ensuit que l’équation du
ième degré doit être décomposable en
ou
équations du second degré, telles que
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-f'\,\ x+g'\ \ &=0,\\x^{2}-f''\,x+g''\ &=0,\\x^{2}-f'''x+g'''&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3152e57a0720e958a6292d4f670465d11998d8b)
dans lesquelles les coefficients
seront racines d’une même équation du degré
ou
ainsi que les coefficients ![{\displaystyle g',g'',g''',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f699a2144836b7f494902af942aa30dbf17d3f5)