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Et comme, à cause de

$f'=x'+x'',\quad f''=x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,\quad g'=x'x'',\quad g''=x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$

on a

${\begin{aligned}2ag'\ -\left(a^{2}+b^{2}\right)f'\ +2ab^{2}&=0,\\2ag''-\left(a^{2}+b^{2}\right)f''+2ab^{2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}g'\ &={\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f'\ -2ab^{2}}{2a}},\\g''&={\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f''-2ab^{2}}{2a}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

de sorte que les ${\frac {\mu }{2}}$ ou ${\frac {\mu -1}{2}}$ facteurs de l’équation dont il s’agit seront

${\begin{aligned}x^{2}-f'\,\ x+{\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f'\ \ -2ab^{2}}{2a}}&=0,\\x^{2}-f''\,x+{\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f''\ -2ab^{2}}{2a}}&=0,\\x^{2}-f'''x+{\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f'''-2ab^{2}}{2a}}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}$

Dans le cas où $\mu$ est un nombre pair, le produit de toutes ces équations devra donner l’équation du degré $\mu$ trouvée ci-devant ; mais, dans le cas où $\mu$ est un nombre impair, il faudra y ajouter encore un facteur simple, tel que $x-h=0.$

La multiplication faite, il n’y aura plus qu’à comparer les premiers termes de l’équation résultante avec ceux de l’équation dont nous venons de parler, et cette comparaison donnera les valeurs des quantités

$f'+f''+f'''+\ldots ,\quad f'f''+f'f'''+f''f'''+\ldots ,\quad \ldots ,$

qui seront les coefficients de l’équation en $f\,:$ et quant au coefficient $h,$ dans le cas où $\mu$ est impair, il se trouvera donné par une équation linéaire.