pas trouver quelque relation entre les racines de cette équation, qui la rende décomposable en des équations d’un degré moindre.
Pour y parvenir je remarque qu’on peut en effet mener par le point
quatre lignes qui remplissent la condition du Problème ; ce sont les lignes ![{\displaystyle \mathrm {MN,M'N'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f370901171b714fcf1c84c83076a884fa3e734bc)
et
de sorte que les racines de l’équation précédente seront les lignes
dont les deux dernières sont, comme on voit, négatives.
Dénotons donc ces lignes par
et, à cause des triangles semblables
on aura
![{\displaystyle \mathrm {MC:CD=DB:BN} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba4fb411a18ba86337969cf5b10009648abe84a)
mais, puisque
doit être égal à
que
il est facile de voir qu’on aura aussi
donc on aura cette proportion
![{\displaystyle x':a=a:x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a0bdf55890c024b6da7c586ef6e2cf71073425)
c’est-à-dire
![{\displaystyle x'x''-a^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6431431fe7c7bceabcd7a25d05e9ba34093e5e)
On pourrait d’abord conclure, par le principe de la raison suffisante, qu’une pareille relation doit aussi avoir lieu entre les deux autres racines
mais, si l’on voulait s’en convaincre à posteriori, il n’y aurait qu’à considérer qu’à cause de
on aura nécessairement aussi
et qu’ensuite, à cause des triangles semblables
on aura
c’est-à-dire
![{\displaystyle x''':a=a:x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a3faa8cf2f6236f4f740ee76fa1d5b5e0ee927)
et par conséquent
![{\displaystyle x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-a^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7608bdd06cff11242b8035dd11c75f5dd9e2c3)
Puis donc qu’on a deux équations semblables, l’une entre
l’autre en
et que ces équations subsistent également en changeant
en
en
il s’ensuit des principes établis plus haut que l’équation du quatrième degré, trouvée ci-dessus, sera nécessairement décomposable en deux équations du second degré, telles que
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-f'\ x+g'\ =&0,\\x^{2}-f''x+g''=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4053d8c971d3eee8c578664de2326ffbbc6c2e5c)