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115. Ajoutons encore un Exemple tiré de la Géométrie. Proposons-nous ce Problème très-connu, où il s’agit de mener par le point $\mathrm {D}$ du carré $\mathrm {ACDB}$ une ligne droite $\mathrm {MN}$ telle, que la partie $\mathrm {MN}$ de cette ligne, qui sera comprise entre les deux côtés opposés $\mathrm {AC,AB}$ du carré, prolongés en $\mathrm {M,N} ,$ soit d’une grandeur donnée.

carré avec prolongement de 2 côtés

Nommant $a$ le côté du carré et $b$ la longueur donnée de la ligne $\mathrm {MN} ,$ prenons, pour déterminer la position de cette ligne, l’inconnue $\mathrm {CM} =x\,;$ on aura donc $\mathrm {MD} ={\sqrt {x^{2}+a^{2}}},$ et les deux triangles semblables $\mathrm {MCD} ,$ $\mathrm {MAN}$ donneront sur-le-champ

$x:{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=(a+x):\mathrm {MN} =(a+x):b\,;$

d’où l’on tire l’équation

$bx=(a+x){\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,;$

laquelle, étant dégagée du radical et ordonnée par rapport à $x,$ deviendra

$x^{4}+2ax^{3}+\left(2a^{2}-b^{2}\right)x^{2}+2a^{3}x+a^{4}=0,$

qui est, comme on voit, du quatrième degré.

Voyons maintenant si, par la nature même du Problème, on ne pourra