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par le dénominateur, il restera nécessairement dans le quotient le facteur $n.$

De là et des formules du Lemme précédent il est facile de conclure :

1^o Que $\mathrm {A} '$ sera divisible par $n,$ que $2\mathrm {A} ''$ le sera aussi, et de même $\mathrm {3A'',4A^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} ,$ jusqu’à $(n-2)\mathrm {A} ^{(n-2)}\,;$ et que par conséquent les nombres $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots ,\mathrm {A} ^{(n-2)}$ que nous avons vu devoir être toujours entiers (3), seront eux-mêmes toujours divisibles par $n,$ au moins tant que $n$ sera premier ;

2^o Que le nombre $\mathrm {A} ^{(n-1)}$ étant augmenté de l’unité sera divisible par $n\,;$ car la formule qui servira à déterminer sa valeur sera

${\begin{aligned}(n-1)\mathrm {A} ^{(n-1)}=&{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots 1}{1.2.3\ldots n}}\\&+{\frac {(n-1)(n-2)\ldots 1}{1.2\ldots (n-1)}}\mathrm {A} '+{\frac {(n-2)(n-3)\ldots 1}{1.2\ldots (n-2)}}\mathrm {A} ''+\ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

$(n-1)\mathrm {A} ^{(n-1)}=1+\mathrm {A'+A''+A'''} +\ldots +\mathrm {A} ^{(n-2)}\,;$

donc

$\mathrm {A} ^{(n-1)}+1=n\mathrm {A} ^{(n-1)}-\mathrm {A'-A''-A'''} -\ldots -\mathrm {A} ^{(n-2)}\,;$

donc, puisque $\mathrm {A',A''} ,\ldots ,\mathrm {A} ^{(n-2)}$ sont tous divisibles par $n,$ il s’ensuit que $\mathrm {A} ^{(n-1)}+1$ sera toujours divisible par $n.$

Corollaire I.

5. Donc (3) le nombre

$1.2.3.4\ldots (n-1)+1$

sera toujours divisible par $n,$ lorsque $n$ sera un nombre premier, ce qui est le Théorème qu’il s’agissait de démontrer.

En général, il s’ensuit de la formule du n^o 2 que, quel que soit le nombre entier $x,$ on aura toujours

$(x+1)(x+2)(x+3)\ldots (x+n-1)-x^{n-1}+1$

divisible par $n,$ tant que $n$ sera un nombre premier.