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Corollaire.

3. Il est clair, par la théorie des équations, que les coefficients $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots$ ne sont autre chose que les sommes des nombres naturels $1,2,3,\ldots$ jusqu’à $n-1$ inclusivement, des produits de ces nombres multipliés deux à deux, trois à trois, etc. ; en sorte que le dernier coefficient $\mathrm {A} ^{(n-1)})$ sera égal au produit $1.2.3.4\ldots (n-1)\,;$ ainsi tous les nombres $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots$ seront nécessairement entiers.

Théorème.

4. Les mêmes choses étant posées que dans le Lemme précédent, je dis que, si $n$ est un nambre premier, les nombres $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {A} ^{(n-2)}$ inclusivement, sont tous divisibles par $n,$ et que le dernier nombre $\mathrm {A} ^{(n-1)}$ sera divisible par $n,$ étant augmenté de l’unité.

On sait que les expressions

${\frac {n(n-1)}{2}},\ \ {\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}},\ldots \ \ {\frac {(n-1)(n-2)}{2}},\ldots \ \ {\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3}},\ldots$

dénotent toujours des nombres entiers, tant que $n$ est un nombre entier ; puisque ce sont les coefficients du binôme élevé à la puissance $n,$ ou $n-1,$ ou, etc. De plus il est clair que, si $n$ est un nombre premier, les nombres

${\frac {n(n-1)}{1.2}},\quad {\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}},\ldots$

seront tous divisibles par $n,$ à l’exception seulement du dernier nombre

${\frac {n(n-1)(n-2)\ldots 1}{1.2.3\ldots n}}$

qui est égal à l’unité ; car il est visible que le numérateur de chacun de ces nombres est divisible par $n,$ et que le dénominateur ne l’est pas, tant que $n$ est premier ; d’où il s’ensuit qu’après avoir divisé le numérateur