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deux facteurs

$1.2.3\ldots (2m-1)+1\quad {\text{ou}}\quad 1.2.3\ldots (2m-1)-1,$

soit divisible par $n\,;$ donc

$1.2.3\ldots (2m-1)\pm 1$

sera nécessairement divisible par $n.$

Remarque I.

7. Les propositions des Corollaires précédents sont d’autant plus remarquables que, si $n$ n’était pas premier, les nombres que nous avons vu devoir être divisibles par $n,$ dans l’hypothèse de $n$ premier, ne le seraient plus. Car, si $n$ n’est pas un nombre premier, il sera donc divisible par quelqu’un des nombres $2,3,\ldots ,n-1$ moindres que $n\,;$ donc, si

$1.2.3\ldots (n-1)+1$

était divisible par $n,$ il faudrait qu’il le fût aussi par quelqu’un des nombres $2,3,4,\ldots ,n-1\,;$ or c’est ce qui ne se peut ; car le nombre $1.2.3\ldots (n-1)$ étant divisible par chacun de ces nombres, il est clair qu’en divisant par un quelconque d’eux le nombre

$1.2.3\ldots (n-1)+1$

on aura toujours l’unité pour reste.

On peut donc tirer de là une méthode directe pour reconnaître si un nombre quelconque impair $n$ est premier ou non ; il n’y aura qu’à voir si le produit continuel des nombres $2,3,4,\ldots ,n-2,$ étant divisé par $n,$ donne $1$ pour reste, alors le nombre sera premier ; sinon, il ne le sera pas. On peut encore simplifier cette règle en distinguant les deux cas où $n$ est de la forme $4m+1$ ou de la forme $4m-1\,;$ dans le premier cas, le nombre $n$ sera premier, si le carré du produit continuel des nombres $2,3,4,\ldots ,2m$ étant divisé par $n$ donne $-1$ ou $n-1$ pour reste ; et dans le second, si le produit continuel des nombres $2,3,4,\ldots ,2m-1$ étant divisé par $n$ donne $1$ ou $-1$ pour reste ; sinon, $n$ ne sera pas premier.