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leurs restes $0,1,1,\ldots ,$ on aura le reste total

$-(n-1)+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}-{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3}}+\ldots ,$

ou bien

$(1-1)^{n-1}-1,\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad -1\,;$

ainsi le reste de la division de $1.2.3\ldots (n-1)$ par $n$ sera $-1,$ et par conséquent

$1.2.3\ldots (n-1)+1$

sera toujours divisible par $n,$ pourvu que $n$ soit premier ; condition nécessaire pour l’exactitude du Théorème de M. Fermat.

Remarque III.

9. Avant de quitter cette matière, nous croyons devoir démontrer encore quelques autres Théorèmes sur les nombres premiers, qu’on trouve aussi sans démonstration dans le même Ouvrage de M. Waring, et qui peuvent être de quelque utilité dans la construction des Tables des nombres premiers.

1^o Si trois nombres premiers sont en progression arithmétique, leur différence doit être divisible par $6,$ à moins que l’un de ces trois nombres ne soit égal à $3.$

Tout nombre entier quelconque peut être représenté par l’une de ces formules

$6m,\quad 6m\pm 1,\quad 6m\pm 2,\quad 6m\pm 3\,;$

les deux formules $6m$ et $6m\pm 2$ donnent tous les nombres pairs, et les deux autres $6m\pm 1,\ 6m\pm 3$ donnent tous les nombres impairs ; mais la dernière, étant divisible par $3,$ ne peut représenter d’autres nombres premiers que le seul nombre $3\,;$ donc tout nombre premier sera ou $3$ ou $6m\pm 1.$

Cela posé, soient

$p-a,\quad p,\quad p+a$