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où, $\varpi ,\rho ,\sigma ,\ldots$ seront des fonctions de $x$ dérivées de la fonction $p$ de la même manière que $p,p',p'',\ldots$ le sont de la fonction $u,$ et, $\varpi ',\rho ',\sigma ',\ldots$ seront des fonctions dérivées de même de la fonction $p',$ et $\varpi '',\rho '',\sigma '',\ldots$ des fonctions dérivées de $p'',$ et ainsi des autres.

D’un autre côté, il est facile de voir que l’expression précédente ne sera autre chose que ce que devient la fonction $u$ en y mettant à la fois $x+\xi +\omega$ à la place de $x,$ ou bien ce que devient l’expression

$u+p\xi +p'\xi ^{2}+p''\xi ^{3}+p'''\xi ^{4}+\ldots$

en y mettant $\xi +\omega$ à la place de $\xi ,$ c’est-à-dire

$u+p(\xi +\omega )+p'(\xi +\omega )^{2}+p''(\xi +\omega )^{3}+\ldots .$

Or, en développant les puissances de $\xi +\omega$ et ordonnant les termes, on aura

${\begin{aligned}u+&p\omega +p'\omega ^{2}+p''\omega ^{3}+p'''\omega ^{4}+\ldots \\+&\left(p\,\ +2p'\ \ \omega +\ \ 3p''\ \omega ^{2}+\ \ 4p'''\omega ^{3}+\ldots \right)\xi \\+&\left(p'\,+3p''\ \omega +\ \ 6p'''\omega ^{2}+10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{2}\\+&\left(p''+4p'''\omega +10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\omega ^{2}+20p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{3}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, comme cette formule doit être identique avec la précédente on aura

${\begin{alignedat}{3}\omega \ \ &=2p',&\rho \ \ &=3p'',&\sigma \ \ &=4p''',\ldots ,\\\omega '\ &=3p'',&\rho '\ &=6p''',&\sigma '\ &=10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,\\\omega ''&=4p''',\quad &\rho ''&=10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad &\sigma ''&=20p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Donc

$p'={\frac {\varpi }{2}},\quad p''={\frac {\varpi '}{3}},\quad p'''={\frac {\varpi ''}{4}},\ldots .$

Or, de la même manière que $p$ est dérivé de $u,$ $\varpi$ l’est de $p,$ $\varpi '$ l’est de $p',$ $\varpi ''$ l’est de $p'',$ et ainsi de suite ; donc, si l’on fait $p=u',$ et qu’on désigne de même par $u''$ une fonction dérivée de $u'$ de la même manière que $u'$ l’est de $u,$ et par $u'''$ une fonction dérivée de même de $u'',$ et ainsi de suite, on