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aura

${\begin{array}{rlll}p=u',&\varpi \ \ =u'',&\mathrm {donc} &p'\ ={\dfrac {u''}{2}},\\\mathrm {donc} &\varpi '\ ={\dfrac {u'''}{2}},&\mathrm {donc} &p''\ ={\dfrac {u'''}{2.3}},\\\mathrm {donc} &\varpi ''={\dfrac {u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2.3}},&\mathrm {donc} &p'''={\dfrac {u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2.3.4}},\\\end{array}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

Ainsi la fonction $u$ deviendra, en mettant $x+\xi$ à la place de $x,$

$u+u'\xi +{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}+{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\xi ^{4}}{2.3.4}}+\ldots ,$

où les fonctions $u,u',u'',u''',u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ dérivent l’une de l’autre par une même loi, de sorte qu’on pourra les trouver aisément par une même opération répétée.

5. Si maintenant on suppose que $u$ soit une fonction de deux variables $x$ et $y,$ et qu’on cherche ce qu’elle devient en y mettant à la fois $x+\xi$ à la place de $x$ et $y+\psi$ à la place de $y,$ on fera d’abord la première de ces deux substitutions, ce qui réduira la fonction $u$ à celle-ci (4)

$u+u'\xi +{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}+{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+\ldots \,;$

ensuite on fera la substitution de $y+\psi$ à la place de $y$ dans les fonctions $u,u',u'',u''',\ldots ,$ et elles se changeront, savoir

${\begin{aligned}&u\ \ \mathrm {en} \ u\,\ +u^{\ ,'}\psi +{\frac {u^{\ \ ,''}\psi ^{2}}{2}}+{\frac {u^{\ \ ,'''}\psi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\&u'\ \mathrm {en} \ u'\,+u^{','}\psi +{\frac {u^{\ ',''}\psi ^{2}}{2}}+{\frac {u^{\ ','''}\psi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\&u''\mathrm {en} \ u''+u^{'','}\psi +{\frac {u^{'',''}\psi ^{2}}{2}}+{\frac {u^{'','''}\psi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$