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et il ne s’agira plus que de développer le second membre de cette équation de la manière que nous l’avons dit à l’égard de celle du numéro précédent.

Mais il y a plus on peut supposer que l’exposant devienne négatif, auquel cas l’équation subsistera également si ce n’est que les différences qui auront un exposant négatif devront être censées changées en sommes du même ordre. Ainsi désignant, comme à l’ordinaire, par $\int$ les sommes ou les intégrales ordinaires, qui répondent aux différences infiniment petites marquées par la caractéristique $d,$ et par $\sum$ les sommes finies qui répondent aux différences finies marquées par la caractéristique $\Delta ,$ on aura

$d^{-1}=\int ,\quad d^{-2}=\int ^{2},\ldots ,$

et de même

$\Delta ^{-1}=\sum ,\quad \Delta ^{-2}=\sideset {}{^{2}}\sum ,\ldots ,$

et l’équation précédente deviendra, en faisant $\lambda$ négatif, ou bien mettant $-\lambda$ à la place de $\lambda ,$ et par conséquent $\sideset {}{^{\lambda }}\sum$ à la place de $\Delta ^{\lambda },$

$\sideset {}{^{\lambda }}\sum u={\frac {1}{\left(e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1\right)^{\lambda }}}.$

On traitera le second membre de cette équation d’une manière semblable à celle que nous avons prescrite ci-dessus.

Quoique l’opération, par laquelle nous avons passé de la différence $\Delta u$ à la différence $\Delta ^{\lambda }u$ et à la somme $\sideset {}{^{\lambda }}\sum u,$ ne soit pas fondée sur des principes clairs et rigoureux, elle n’en est cependant pas moins exacte, comme on. peut s’en assurer à posteriori ; mais il serait peut-être très-difficile d’en donner une démonstration directe et analytique ; cela tient, en général, à l’analogie qu’il y a entre les puissances positives et les différen-