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Or on sait que

${\frac {x+y+z+t+\ldots }{1}}+{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{2}}{1.2}}+{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

${\begin{aligned}&=e^{x+y+z+t+\ldots }-1=e^{x}\times e^{y}\times e^{z}\times e^{t}\times \ldots -1\\&=\left(1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\times \left(1+{\frac {y}{1}}+{\frac {y^{2}}{1.2}}+{\frac {y^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\\&\times \left(1+{\frac {z}{1}}+{\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\times \left(1+{\frac {t}{1}}+{\frac {t^{2}}{1.2}}+{\frac {t^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\ldots -1.\end{aligned}}$

Par conséquent il n’y aura qu’à faire le produit de ces différentes séries et changer ensuite chaque terme comme nous l’avons dit ci-dessus.

9. De là il est facile de conclure que si l’on considère l’expression

$e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1$

et qu’après l’avoir développée suivant les puissances de $du,$ on applique les exposants de ces puissances à la caractéristique $d$ pour indiquer des différences du même ordre que les puissances, c’est-à-dire qu’on change $du^{\lambda }$ en $d^{\lambda }u,$ on aura l’accroissement cherché de la fonction $u$ lorsque $x,y,z,$ y deviennent $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ldots .$

Ainsi dénotant cet accroissement par $\Delta u,$ on aura la formule générale

$\Delta u=e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1.$

10. Maintenant, comme $\Delta u$ exprime la différence première finie de $u,$ si l’on dénote de même par $\Delta ^{2}u,\Delta ^{3}u,\ldots$ les différences finies de $u$ des ordres ultérieurs, on pourra trouver la valeur de chacune de ces différences en ne faisant qu’élever l’équation précédente au carré, au cube, etc. et y changeant ensuite les exposants des puissances en exposants des différences.

De cette manière on aura donc, en général,

$\Delta ^{\lambda }u=\left(e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1\right)^{\lambda },$