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aura de même

${\begin{aligned}\varphi &\left[x-(n+1)\xi \right]+\varphi \left[x-(n+2)\xi \right]+\ldots \\&={\frac {^{\text{‵}}\varphi (x-n\xi )}{\xi }}-\alpha \varphi (x-n\xi )+\beta \varphi '(x-n\xi ).\xi -\gamma \varphi ''(x-n\xi ).\xi ^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, retranchant cette équation de la précédente, il viendra

${\begin{aligned}\varphi &(x-\xi )+\varphi (x-2\xi )+\varphi (x-3\xi )+\ldots +\varphi (x-n\xi )\\&={\frac {^{\text{‵}}\varphi (x)-^{\text{‵}}\!\varphi (x-n\xi )}{\xi }}-\alpha \left[\varphi (x)-\varphi (x-n\xi )\right]\end{aligned}}$

$+\beta \xi \left[\varphi '(x)-\varphi '(x-n\xi )\right]-\gamma \xi ^{2}\left[\varphi ''(x)-\varphi ''(x-n\xi )\right]+\ldots .$

Nous ne nous étendrons pas en détails sur cette matière parce qu’elle a déjà été traitée dans différents Ouvrages, et surtout dans le Traité des Fluxions de M. Maclaurin, et dans les Institutions du Calcul différentiel de M. Euler ; on trouve dans ce dernier Ouvrage des Remarques curieuses et importantes sur la nature et les propriétés des nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ dans le cas de $\lambda =1\,;$ mais personne que je sache n’avait encore donné l’expression générale de ces nombres pour les différences et les sommes d’un ordre quelconque.

12. Reprenons l’équation du n^o 10, savoir

$\Delta u=e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1\,;$

elle donnera celle-ci

${\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots =\log(1+\Delta u),$

ou il faudra, après avoir développé le logarithme $\log(1+\Delta u)$ suivant les puissances de $\Delta u,$ appliquer les exposants de ces puissances à la caractéristique $\Delta .$ De cette manière on aura donc

${\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots =\Delta u-{\frac {\Delta ^{2}u}{2}}+{\frac {\Delta ^{3}u}{3}}-{\frac {\Delta ^{4}u}{4}}+\ldots ,$