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donc, substituant cette valeur et multipliant en croix, il viendra

${\begin{aligned}\lambda &\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{2.3}}-{\frac {\omega ^{2}}{3.4}}+\ldots \right)\mathrm {\left(1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+\ldots \right)} \\&=\left(1+{\frac {\omega }{2}}-{\frac {\omega ^{2}}{2.3}}+{\frac {\omega ^{3}}{3.4}}-\ldots \right)\mathrm {\left(M+2N\omega +3P\omega ^{2}+\ldots \right)} .\end{aligned}}$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}-{\frac {\lambda }{2}}+&\lambda \mathrm {\left(-{\frac {M}{2}}+{\frac {1}{2.3}}\right)} \omega +\lambda \mathrm {\left(-{\frac {N}{2}}+{\frac {M}{2.3}}-{\frac {1}{3.4}}\right)} \omega ^{2}\\&+\lambda \mathrm {\left(-{\frac {P}{2}}+{\frac {N}{2.3}}-{\frac {M}{3.4}}+{\frac {1}{4.5}}\right)} \omega ^{3}+\ldots \\\\=&\mathrm {M} +\mathrm {\left(2N+{\frac {M}{2}}\right)} \omega +\mathrm {\left(3P+{\frac {2N}{2}}-{\frac {M}{2.3}}\right)} \omega ^{2}\\&+\mathrm {\left(4Q+{\frac {3P}{2}}-{\frac {2N}{2.3}}+{\frac {M}{3.4}}\right)} \omega ^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

De sorte qu’en comparant les termes on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=-{\frac {\lambda }{2}},\\2\mathrm {N} &=-{\frac {(\lambda +1)\mathrm {M} }{2}}+{\frac {\lambda }{2.3}},\\3\mathrm {P} &=-{\frac {(\lambda +2)\mathrm {N} }{2}}+{\frac {(\lambda +1)\mathrm {M} }{2.3}}-{\frac {\lambda }{3.4}},\\4\mathrm {Q} &=-{\frac {(\lambda +3)\mathrm {P} }{2}}+{\frac {(\lambda +2)\mathrm {N} }{2.3}}-{\frac {(\lambda +1)\mathrm {M} }{3.4}}+{\frac {\lambda }{4.5}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Connaissant de cette manière les coefficients numériques $\mathrm {M,N,P} ,\ldots ,$ on aura donc

$\left[\log(1+\Delta u)\right]^{\lambda }=\Delta ^{\lambda }u+\mathrm {M} \Delta ^{\lambda +1}u+\mathrm {N} \Delta ^{\lambda +2}u+\ldots ,$

ce qu’il faudra substituer dans l’équation ci-dessus.

13. Soit, comme dans le n^o 11, $u$ une fonction de $x$ seul : alors l’équation dont il s’agit deviendra

$\left({\frac {du}{dx}}\xi \right)^{\lambda }=\left[\log(1+\Delta u)\right]^{\lambda },$