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Cette formule servira, comme on voit, pour l’interpolation des Tables à double entrée ; et elle s’accorde avec celle que M. Lambert a donnée pour le même objet dans la troisième Partie de ses Beytrœge etc.

On pourra déduire avec la même facilité, de notre équation générale, les formules pour l’interpolation des Tables à triple, quadruple, etc., entrée c’est sur quoi il ne nous paraît pas nécessaire de nous étendre davantage.

17. Nous allons donner maintenant une méthode facile et générale de trouver immédiatement les différences d’un ordre quelconque d’une fonction quelconque de plusieurs variables, sans passer par les différences des ordres inférieurs. Pour cela on considérera que, puisque $\Delta u$ désigne, en général, la différence première de $u,$ $\Delta ^{2}u$ la différence première de $\Delta u$ ou la différence seconde de $u,$ et ainsi de suite, les valeurs successives de $u$ seront

${\begin{aligned}&u,\\&u+\Delta u,\\&u+2\Delta u+\Delta ^{2}u,\\&u+3\Delta u+3\Delta ^{2}u+\Delta ^{3}u,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$u+m\Delta u+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}u+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}u+\ldots .$

De même, en désignant par $\Delta x,\Delta ^{2}x,\ldots ,\ \Delta y,\Delta ^{2}y,\ldots ,\ \Delta z,\Delta ^{2}z,\ldots$ les différences premières, secondes, etc., des variables $x,y,z,\ldots ,$ on aura pour les valeurs successives de $x,$

${\begin{aligned}&x,\\&x+\Delta x,\\&x+2\Delta x+\Delta ^{2}x,\\&x+3\Delta x+3\Delta ^{2}x+\Delta ^{3}x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$x+m\Delta x+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}x+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}x+\ldots ,$

et ainsi de suite pour les valeurs successives de $y,z,\ldots .$