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Donc, en général, si $u$ est une fonction quelconque de $x,y,z,\ldots ,$ il est clair que, tandis que $u$ devient

$u+m\Delta u+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}u+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}u+\ldots ,$

$x,y,z,\ldots$ deviendront

${\begin{aligned}&x+m\Delta x+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}x+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}x+\ldots ,\\&y+m\Delta y\,+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}y+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}y+\ldots ,\\&z+m\Delta z\ +{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}z+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}z+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où il s’ensuit qu’en désignant par $\varphi (x,y,z,\ldots )$ la valeur de $u,$ en sorte que

$u=\varphi (x,y,z,\ldots ),$

on aura aussi

${\begin{aligned}u+m&\Delta u+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}u+\ldots \\=\varphi &\left[x+m\Delta x+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}x+\ldots \right.,\\&\ \ y\,+m\Delta y+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}y+\ldots ,\\&\ \ z\,+m\Delta z+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}z+\ldots ,\\&\ \ {\Bigl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\Bigr ]},\end{aligned}}$

équation qui devra avoir lieu, quel que soit le nombre $m\,;$ de sorte qu’après le développement des termes il n’y aura qu’à comparer ceux qui seront affectés d’une même puissance de $m,$ et l’on aura autant d’équations qu’il en faudra pour déterminer les valeurs de chacune des différences $\Delta u,\Delta ^{2}u,\ldots .$

18. Supposons que les différences deviennent infiniment petites et qu’en même temps le nombre $m$ devienne infiniment grand, on aura dans cette hypothèse

$m(m-1)=m^{2},\quad m(m-1)(m-2)=m^{3},\ldots \,;$