La résolution de ce cas paraît d’abord beaucoup plus difficile ; car lorsqu’on cherche à diviser une équation du degré par une autre équation d’un degré inférieur quelconque, on parvient toujours à des équations de degrés pairs pour la détermination de ses coefficients ; de sorte que pour pouvoir s’assurer que l’un de ces coefficients sera réel il faut que l’équation dont il dépend ait son dernier terme négatif. Quand on décompose une équation du quatrième degré, dont le second terme est évanoui, en deux autres du second degré suivant la méthode de Descartes, on trouve que les coefficients des seconds termes de ces diviseurs sont donnés par une équation du sixième degré, dont le dernier terme est essentiellement négatif, étant égal à un carré affecté du signe Cette observation a porté M. Euler à penser que la même chose pourrait avoir lieu dans toute équation dont le degré sera une puissance de et où le second terme sera pareillement évanoui, lorsqu’on cherchera à la décomposer en deux autres d’un degré moindre de la moitié. M. Euler tâche de démontrer, par la nature même des racines de l’équation qui doit servir à déterminer les coefficients des seconds termes de ces diviseurs, que cette équation aura toujours pour dernier terme un carré avec le signe négatif ; mais il faut avouer que son raisonnement est peu concluant, ainsi que M. le chevalier de Foncenex l’a déjà remarqué dans le premier volume des Miscellanea Taurinensia ; et comme nous le montrerons encore avec plus de détail dans ce Mémoire.
Cette raison a même engagé l’habile Géomètre dont nous venons de parler à prendre un autre chemin pour parvenir à une démonstration exacte du même Théorème, et l’on ne saurait disconvenir que celle qu’il a donnée dans le volume cité n’ait l’avantage de l’élégance et de la simplicité mais, d’un autre côté, elle est aussi sujette à quelques-unes des difficultés qui ont lieu dans celle de M. Euler, et qui viennent de ce qu’on y suppose faussement que dès que l’un des coefficients d’un diviseur d’une équation quelconque est réel, tous les autres doivent l’être aussi.
Il paraît donc, par tout ce que nous venons de dire, que le Théorème dont il s’agit n’a pas encore été démontré d’une manière aussi directe et
