aussi rigoureuse qu’on pourrait le désirer. Comme je me suis depuis quelque temps particulièrement appliqué à perfectionner la théorie des équations, j’ai cru devoir aussi m’attacher à la discussion d’un point si important de cette théorie c’est l’objet que je me suis proposé dans ce Mémoire. En suppléant à ce qui manque à la démonstration de M. Euler, je tâcherai de-faire en sorte qu’il ne reste plus de difficulté ni d’incertitude sur cette matière.
1. On sait que toute équation d’un degré impair a nécessairement une racine réelle positive si son dernier terme est négatif, ou une racine réelle négative si son dernier terme est positif, et de plus que toute équation d’un degré pair a nécessairement deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative, lorsque son dernier terme est négatif.
Ces Théorèmes sont si connus, que nous ne croyons pas devoir nous arrêter à les démontrer ; il est vrai que la démonstration qu’on en donne ordinairement est peu naturelle, étant tirée de la considération des lignes courbes ; mais nous en avons donné ailleurs une plus directe, déduite des seuls principes de la composition des équations [voyez les Mémoires pour l’année 1767[1]].
Hors les cas précédents on n’a point encore de caractère général par lequel on puisse reconnaître à priori si une équation a des racines réelles ou non. Nous nous proposons de donner dans une autre occasion nos recherches sur ce point, qu’on peut regarder comme un des plus importants de la théorie des équations.
2. Cela posé, il est d’abord clair que toute équation d’un degré impair telle que
pourra s’abaisser à un degré moindre d’une unité, c’est-à-dire au degré pair immédiatement inférieur.
Car, comme on est assuré que cette équation doit avoir une racine
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. II, p. 541.
