réelle, si l’on dénote cette racine par
on aura
![{\displaystyle a^{2m+1}-\mathrm {A} a^{2m}+\mathrm {B} a^{2m-1}-\mathrm {C} a^{2m-2}+\ldots -\mathrm {K} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bc617ab8f6037f0adaacf69541fc31bb2a3da8)
donc
![{\displaystyle \mathrm {K} =a^{2m+1}-\mathrm {A} a^{2m}+\mathrm {B} a^{2m-1}-\mathrm {C} a^{2m-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4bbe0feba0ba41f6559b398d7aa14c5fe70534)
ce qui étant substitué dans l’équation précédente, on aura celle-ci
![{\displaystyle \left(x^{2m+1}-a^{2m+1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500b3fb31aa0982c83a6990f6cc9d54a0b79fc80)
![{\displaystyle -\mathrm {A} \left(x^{2m}-a^{2m}\right)+\mathrm {B} \left(x^{2m-1}-a^{2m-1}\right)-\mathrm {C} \left(x^{2m-2}-a^{2m-2}\right)+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170af0326ae48e78f110a898ec54702ee7b60800)
laquelle se décompose naturellenoent en ces deux-ci
![{\displaystyle x-a=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ceef60a8885041a1e20664a90b1ca37b167813)
![{\displaystyle x^{2m}+(a-\mathrm {A} )x^{2m-1}+\left(a^{2}-\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)x^{2m-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee547a1072c2011f0eb8ca68cedc303f0c70755)
![{\displaystyle +\left(a^{3}-\mathrm {A} a^{2}+\mathrm {B} a-\mathrm {C} \right)x^{2m-3}+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fada50241a2b263910fe89e3e433cf245f4c870)
Ainsi il suffira de considérer les équations de degrés pairs.
3. Soit donc proposée l’équation générale
![{\displaystyle x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots +\mathrm {K} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a21ccfc47f56874e19cc3de22057bda6ea9e84)
il s’agit de prouver que cette équation, lorsque
est un nombre pair plus grand que
peut toujours se décomposer en deux autres équations dont les coeificients soient des quantités réelles.
Supposons que
![{\displaystyle x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\mathrm {P} x^{n-3}+\ldots +\mathrm {V} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904710eb7396329cc2e3d771210409385f5164f1)
soit un des facteurs de l’équation dont il s’agit ; l’autre facteur sera de la forme
![{\displaystyle x^{m-n}-\mathrm {M} 'x^{m-n-1}+\mathrm {N} 'x^{m-n-2}-\mathrm {P} 'x^{m-n-3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6097d194ca6556a6d557dc9b7eb0bb72417c9686)
et pour déterminer les coefficients
qui sont au nombre de
il n’y aura qu’à multiplier ces deux facteurs ensemble, et égaler ensuite chaque terme du produit au terme de l’équation proposée dans lequel
aura le même exposant ; on aura par là
équations qui serviront à déterminer tous les coefficients inconnus des facteurs supposés.
On peut aussi considérer simplement le facteur
![{\displaystyle x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\mathrm {P} x^{n-3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb73cd56d23e7265aea14a1d3be372be7ab49230)