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On divisera d’abord par $\mathrm {N} x^{\mu },$ ce qui la réduira à celle-ci

$\mathrm {\frac {M}{N}} -x^{\nu }+{\frac {\mathrm {X} x^{-\mu }}{\mathrm {N} }}=0\,;$

ensuite on fera $x^{\nu }=t,$ et par conséquent

$x={\sqrt[{\nu }]{t}},$

et désignant par $\mathrm {T}$ la fonction de $t,$ dans laquelle se changera la quantité $\mathrm {X}$ par la substitution de ${\sqrt[{\nu }]{t}}$ à la place de $x,$ on aura la transformée

$\mathrm {\frac {M}{N}} -t+{\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}}{\mathrm {N} }}=0,$

laquelle rentre évidemment dans la formule générale

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

en faisant

$\alpha =\mathrm {\frac {M}{N}} ,\quad x=t,\quad \varphi (x)=\varphi (t)={\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}}{\mathrm {N} }}.$

On aura donc (16), en mettant $t$ ou $x^{\nu }$ à la place de $p,$

${\begin{aligned}\psi \left(x^{\nu }\right)=&\psi (t)+{\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}\psi '(t)}{\mathrm {N} }}+{\frac {1}{2\mathrm {N} ^{2}}}{\frac {d\left[\mathrm {T} ^{2}t^{-{\frac {2\mu }{\nu }}}\psi '(t)\right]}{dt}}\\&+{\frac {1}{2.3.\mathrm {N} ^{3}}}{\frac {d^{2}\left[\mathrm {T} ^{3}t^{-{\frac {3\mu }{\nu }}}\psi '(t)\right]}{dt^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

où il faudra faire $t=\mathrm {\frac {M}{N}} ,$ après avoir exécuté les différentiations indiquées.

Donc, faisant $\psi (t)=t^{\frac {1}{\nu }},$ et par conséquent

$\psi '(t)={\frac {t^{\frac {1-\nu }{\nu }}}{\nu }},$