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pour avoir $\psi (x^{\nu })=x,$ on aura

(L)

$x=t^{\frac {1}{\nu }}+{\frac {1}{\nu \mathrm {N} }}\mathrm {T} t^{\frac {1-\mu -\nu }{\nu }}+{\frac {1}{\nu \mathrm {N} ^{2}}}{\frac {d\left(\mathrm {T} ^{2}t^{\frac {1-2\mu -\nu }{\nu }}\right)}{dt}}+{\frac {1}{\nu \mathrm {N} ^{3}}}{\frac {d^{2}\left(\mathrm {T} ^{3}t^{\frac {1-3\mu -\nu }{\nu }}\right)}{dt^{2}}}+\ldots .$

C’est l’expression de la racine $x$ qui résultera de la combinaison des termes $\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +\nu }$ de l’équation proposée.

30. Maintenant il est visible que l’expression de $x$ que nous venons de trouver contiendra nécessairement le radical ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }}$ qui proviendra de la substitution de $\mathrm {\frac {M}{N}}$ à la place de $t,$ et il est facile de se convaincre que cette expression ne contiendra point d’autre radical ; car, puisque $\mathrm {X}$ est une fonction rationnelle de $x,$ $\mathrm {T}$ sera aussi une fonction rafionnelle de ${\sqrt[{\nu }]{t}},$ et par conséquent toute la série qui exprime la valeur de $x$ sera une fonction rationnelle de ${\sqrt[{\nu }]{t}},$ c’est-à-dire de ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }}.$

Or, on sait que le radical ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }}$ a $\nu$ valeurs différentes qui sont les racines de l’équation

$\mathrm {M-N} x^{\nu }=0,$

et qui (par le théorème connu de Cotes), peuvent se représenter, en général, par la formule

$\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{\nu }}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{\nu }}\right){\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$

$\lambda$ étant successivement égal à $1,2,3,\ldots$ jusqu’à $\nu .$

Donc, si l’on substitue cette quantité à la place de ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$ la série qui représentera la valeur de $x$ se transformera en $\nu$ séries qui donneront autant de différentes expressions de $x.$

31. Je dis présentement que les $\nu$ séries ou expressions de $x$ qui résultent de la considération des termes $\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +\nu }$ de l’équation proposée, c’est-à-dire celles qu’on trouve en prenant ces deux termes pour