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De là il s’ensuit :

1^o Que si la valeur réelle que doit avoir nécessairement un quelconque des coefficients $\mathrm {M,N,P} ,\ldots$ dans le cas du n^o 10, est une racine inégale de l’équation par laquelle ce coefficient doit être déterminé, on sera assuré que tous les autres coefficients auront aussi nécessairement des valeurs réelles ;

2^o Que si cette valeur est une racine égale de la même équation, alors pourvu que l’exposant de l’égalité soit impair, c’est-à-dire que ce soit une racine triple, ou quintuple, ou, etc., on sera aussi assuré que les autres coefficients auront des valeurs réelles, puisqu’ils dépendront d’équations de degrés impairs ; mais il n’en serait pas de même si le degré de la multiplicité était pair.

14. Considérons, en général, une équation quelconque du degré $\mu ,$ laquelle ait $\nu$ racines inégales, $\varpi$ racines inégales entre elles, mais dont chacune en ait $p-1$ autres égales, $\rho$ racines inégales entre elles, et dont chacune en ait $r-1$ autres égales, et ainsi de suite, en sorte que l’on ait

$\mu =\nu +\varpi p+\rho r+\ldots .$

On sait par la théorie des racines égales que l’équation proposée pourra toujours se décomposer, sans aucune extraction de racines, en différentes équations dont chacune renferme toutes les racines inégales du même ordre ; c’est-à-dire en une équation du degré $\nu$ qui ne renferme que les racines simples et inégales, en une équation du degré $\varpi$ qui ne renferme que les racines inégales dont chacune se trouver $p$ fois dans la proposée, en une équation du degré $\rho$ qui ne renferme que les racines inégales dont chacune se trouve $r$ fois dans la proposée, et ainsi de suite.

Maintenant, si l’on suppose que l’exposant $\mu$ soit un nombre quelconque impair, il faudra que la somme des nombres $\nu ,\varpi p,\rho r,\ldots$ soit un nombre impair, et par conséquent il faudra qu’un quelconque de ces nombres soit impair ; si $\nu$ est impair, l’équation du degré $\nu$ aura nécessairement une racine réelle, laquelle sera une racine inégale de l’équation proposée ; si $\varpi p$ est impair il faudra que $\varpi$ et $p$ soient l’un et l’autre