Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/493

des fonctions rationnelles de celui-là, à l’exception de quelques cas particuliers où il arrive que la détermination de ces coefficients demande encore la résolution d’une équation de deux ou de plusieurs dimensions ; ainsi tout se réduit à déterminer à priori quels sont ces cas, et quel est le degré de l’équation qu’on a alors à résoudre.

12. Cette question dépend de celle dont nous avons donné la solution ailleurs [Réflexions sur la résolution des équations, Section IV, n^o 100^[1]], et qui consiste à trouver la valeur d’une fonction quelconque des racines d’une équation donnée, lorsqu’on connaît déjà celle d’une autre fonction quelconque des mêmes racines. Car il est visible que les coefficients $\mathrm {M,N} ,\ldots$ du diviseur

$x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\mathrm {P} x^{n-3}+\ldots =0$

sont des fonctions des racines de l’équation proposée

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

et il est facile de conclure de ce que nous avons dit dans le n^o 7, que le coefficient $\mathrm {M}$ en particulier sera égal à la somme de $n$ quelconques des $m$ racines de la proposée, que le coefficient $\mathrm {N}$ sera égal à la somme des produits deux à deux de ces $n$ racines, que le coefficient $\mathrm {P}$ sera égal à la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite.

13. En appliquant donc à ce cas notre solution générale, on verra qu’on peut toujours exprimer par des fonctions rationnelles d’un quelconque dès coefficients $\mathrm {M,N,P} ,\ldots$ la valeur de chacun des autres, excepté les seuls cas où, l’équation par laquelle ce coefficient-là doit être déterminé ayant des racines égales, on voudra prendre précisément une de ces racines pour sa valeur.

Alors chacun des autres coefficients devra nécessairement être déterminé par une équation dont le degré sera égal au nombre de ces racines égales, et dont les coefficients seront des fonctions rationnelles du même coefficient, qu’on suppose connu.

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 374.