Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/497

différentes sommes particulières qu’on peut faire de ces racines en ne les prenant qu’au nombre de la moitié ; de sorte que les racines dont il s’agit ne seront autre chose que les différences entre la somme de la moitié du nombre des racines de la proposée et la somme de l’autre moitié, en prenant ces sommes de toutes les différentes manières possibles.

Par exemple, si l’équation proposée est du quatrième degré et a, par conséquent, quatre racines $a,b,c,d,$ on aura

$\mathrm {A} =a+b+c+d,$

et les valeurs de $\mathrm {M}$ seront

$a+b,\quad a+c,\quad a+d,\quad b+c,\quad b+d,\quad c+d,$

donc les valeurs de

$u=\mathrm {A-2M}$

seront

${\begin{array}{lll}c+d-a-b,&b+d-a-c,&b+c-a-d,\\a+d-b-c,&a+c-b-d,&a+b-c-d,\end{array}}$

et ainsi des autres équations des degrés supérieurs.

18. De là il est d’abord facile de conclure que l’équation en $u$ manquera de toutes les puissances impaires, puisqu’il est évident que chaque racine positive doit avoir nécessairement une racine négative égale ; ce qu’on voit clairement dans l’Exemple précédent, où les quantités

$c+d-a-b,\quad b+d-a-c,\quad b+c-a-d,$

sont les négatives des quantités

$a+b-c-d,\quad a+c-b-d,\quad a+d-b-c.$

Donc, si l’on fait $u^{2}=t,$ l’équation en $u$ s’abaissera à un degré moindre de la moitié, et comme on a prouvé que le degré de l’équation en $u$ est pairement impair, il s’ensuit que le degré de l’équation en $t$ sera nécessairement impair ; de sorte que cette équation aura nécessairement une racine réelle, laquelle sera positive si son dernier terme est négatif, et négative s’il est positif (I). Or, pour que $u,$ et par conséquent $\mathrm {M} ,$ ait