on prendra, dans ce cas, pour
la racine positive de l’équation
![{\displaystyle t^{2}\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)} t-p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4657654cff9cd194af00df85aa0c0122adbedb0c)
et l’on aura (6)
![{\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {\mathrm {A} \pm {\sqrt {t}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {N={\frac {C-BM+AM^{2}-M^{3}}{A-2M}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1144993a80c47bb524a9ebd948af8d1e9b757098)
27. Mais, pour pouvoir résoudre la difficulté dont il s’agit d’une manière générale et applicable aux équations de tous les degrés, il faut employer d’autres principes.
Reprenons pour cet effet l’équation proposée
![{\displaystyle x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b78efd381566ee5786c1c7f1106e4cf2a9a182)
où
et considérons les deux facteurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{n}-\mathrm {M} \ x^{n-1}+\mathrm {N} \ x^{n-2}-\mathrm {P} \ x^{n-3}+\ldots +=0,\\&x^{n}-\mathrm {M} 'x^{n-1}+\mathrm {N} 'x^{n-2}-\mathrm {P} 'x^{n-3}+\ldots +=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57bf61b8ef58258b40c6d077da6ad2ccc9628b9f)
dont on suppose qu’elle soit formée,
étant égal à
qu’on fasse, ce qui est permis,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&{\frac {\alpha +\mu }{2}},\qquad &\mathrm {M} '=&{\frac {\alpha -\mu }{2}},\\\mathrm {N} =&{\frac {\beta +\nu }{2}},&\mathrm {N} '=&{\frac {\beta -\nu }{2}},\\\mathrm {P} =&{\frac {\gamma +\varpi }{2}},&\mathrm {P} '=&{\frac {\gamma -\varpi }{2}},\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e990e7edfe702534d0b93c4b14a4d60242bc82a)
c’est-à-dire qu’on introduise à la place des coefficients indéterminés ![{\displaystyle \mathrm {M,M'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96d5adfb64302ac1b7fdf74ef6dab8bbfc95195)
leurs sommes
![{\displaystyle \mathrm {M+M'=\alpha ,\quad N+N'=\beta ,\quad P+P'} =\gamma ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b04f1509c4422fe429eee2c3a0f727121994b98)
et leurs différences
![{\displaystyle \mathrm {M-M'=\mu ,\quad N-N'=\nu ,\quad P-P'} =\varpi ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a308e1cd1fdf4d5043fb82eb07f305a5b8670e81)
et l’on trouvera (3)
ou
équations entre les
indéterminées ![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb0a6728625f4452d40f4dd63031fab54b23fa5)
par lesquelles on pourra déterminer chacune de ces inconnues.