Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/509

Qu’on supppose maintenant

$u=a\mu +b\nu +c\varpi +\ldots .$

$a,b,c,$ étant des coefficients quelconques arbitraires, et qu’on introduise partout l’indéterminée $u$ à la place d’une quelconque des indéterminées $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ par exemple à la place de $\mu ,$ en substituant ${\frac {u-b\nu -c\varpi -\ldots }{a}}$ au lieu de $\mu ,$ on aura $2n$ équations entre les $2n$ inconnues $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,u,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ d’où, éliminant les $2n-1$ inconnues $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ il viendra une équation en $u,$ qui sera du même degré et assujettie aux mêmes conditions que celle du n^o 17, comme je vais le démontrer.

28. Dénotons les $2n$ racines de l’équation proposée par

$x',x'',x''',\ldots ,x^{(2n)},$

et comme on suppose que cette équation soit le produit de ces deux-ci

${\begin{aligned}&x^{n}-\mathrm {M} \ x^{n-1}+\mathrm {N} \ x^{n-2}-\mathrm {P} \ x^{n-3}+\ldots =0,\\&x^{n}-\mathrm {M} 'x^{n-1}+\mathrm {N} 'x^{n-2}-\mathrm {P} 'x^{n-3}+\ldots =0,\end{aligned}}$

il est visible, par la théorie des équations, que l’une de ces équations aura pour racines $n$ quelconques des $2n$ racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(2n)},$ et que l’autre aura pour racines les $n$ racines restantes ; ainsi prenant $x',x'',x''',\ldots ,x^{(n)}$ pour les racines de

$x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\mathrm {P} x^{n-3}+\ldots =0,$

et $x^{(n+1)},x^{(n+2)},x^{(n+3)},\ldots ,x^{(2n)}$ pour les racines de

$x^{n}-\mathrm {M} 'x^{n-1}+\mathrm {N} 'x^{n-2}-\mathrm {P} 'x^{n-3}+\ldots =0,$

on aura, comme on sait,

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&x'+x''+x+'''\ldots +x^{(n)},\\\mathrm {N} =&x'x''+x'x'''+x''x'''+\ldots +x^{(n-1)}x^{(n)},\\\mathrm {P} =&x'x''x'''+x'x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +x^{(n-2)}x^{(n-1)}x^{(n)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$