Qu’on supppose maintenant
![{\displaystyle u=a\mu +b\nu +c\varpi +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2154ed7120c3b4c9e843d950d3548cf60971d894)
étant des coefficients quelconques arbitraires, et qu’on introduise partout l’indéterminée
à la place d’une quelconque des indéterminées
par exemple à la place de
en substituant
au lieu de
on aura
équations entre les
inconnues
d’où, éliminant les
inconnues
il viendra une équation en
qui sera du même degré et assujettie aux mêmes conditions que celle du no 17, comme je vais le démontrer.
28. Dénotons les
racines de l’équation proposée par
![{\displaystyle x',x'',x''',\ldots ,x^{(2n)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea60957f3096df58f62d3cf0f3bdf4b2e5391be)
et comme on suppose que cette équation soit le produit de ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{n}-\mathrm {M} \ x^{n-1}+\mathrm {N} \ x^{n-2}-\mathrm {P} \ x^{n-3}+\ldots =0,\\&x^{n}-\mathrm {M} 'x^{n-1}+\mathrm {N} 'x^{n-2}-\mathrm {P} 'x^{n-3}+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f537d09dd30bdca8d7d705b2f5a00926be7f9fd5)
il est visible, par la théorie des équations, que l’une de ces équations aura pour racines
quelconques des
racines
et que l’autre aura pour racines les
racines restantes ; ainsi prenant
pour les racines de
![{\displaystyle x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\mathrm {P} x^{n-3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9395616a0a8af4fca238f403a1355aee44d7a1d3)
et
pour les racines de
![{\displaystyle x^{n}-\mathrm {M} 'x^{n-1}+\mathrm {N} 'x^{n-2}-\mathrm {P} 'x^{n-3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8e8c505ab9d51f5b0d84cc5a0631e9c4229224)
on aura, comme on sait,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&x'+x''+x+'''\ldots +x^{(n)},\\\mathrm {N} =&x'x''+x'x'''+x''x'''+\ldots +x^{(n-1)}x^{(n)},\\\mathrm {P} =&x'x''x'''+x'x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +x^{(n-2)}x^{(n-1)}x^{(n)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9bc0e90de5076d0a4a2d2970dfbf0b4dcbaf2f)