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les premiers de la formule générale (H), représentent nécessairement $\nu$ racines différentes de cette équation, et qu’en particulier (25) elles représentent les racines $\mu$^ième, $(\mu +1)$^ième, $(\mu +2)$^ième, …, jusqu’à la $(\mu +\nu -1)$^ième de la même équation.

Pour le prouver, il suffit de faire voir, suivant la méthode du n^o 26, qu’en supposant dans l’expression générale de $x$ de la formule (L) les coefficients des termes de l’équation proposée où les exposants de $x$ seraient moindres que $\mu ,$ chacun égal à zéro, comme aussi chacun des coefficients des termes intermédiaires entre les deux $\mathrm {M} x^{\mu }$ et $\mathrm {N} x^{\mu +\nu },$ et faisant en même temps $\mathrm {M}$ infiniment petit, cette expression se réduira à celle-ci ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$ qui est la racine générale de l’équation

$\mathrm {M-N} x^{\nu }=0.$

Or, après la destruction des termes dont nous venons de parler, il est clair que la quantité $\mathrm {X}$ ne renfermera plus que des puissances de $x$ plus grandes que $x^{\mu +\nu },$ et qu’ainsi la quantité $\mathrm {T}$ ne renfermera que des puissances de $t$ plus grandes que $t^{\frac {\mu +\nu }{\nu }}\,;$ d’où il est facile de voir que les fonctions

$\mathrm {T} t^{\frac {1-\mu -\nu }{\nu }},\quad {\frac {d\left(\mathrm {T} ^{2}t^{\frac {1-2\mu -\nu }{\nu }}\right)}{dt}},\ldots$

de la formule (L) ne seront plus composées que des puissances de plus grandes que $t^{\frac {1}{\nu }}\,;$ donc, faisant $t=\mathrm {\frac {M}{N}} ,$ et supposant ensuite $\mathrm {M}$ infiniment petit, c’est-à-dire $t$ infiniment petit, il est évident que toutes ces puissances de $t$ s’évanouiront vis-à-vis du premier terme $t^{\frac {1}{\nu }}$ de l’expression de $x,$ laquelle se réduira par conséquent à $t^{\frac {1}{\nu }}$ ou à $\left(\mathrm {\frac {M}{N}} \right)^{\frac {1}{\nu }},$ à cause de $t=\mathrm {\frac {M}{N}} .$

32. De là il est aisé de conclure que, pour trouver toutes les racines d’une équation donnée, par le moyen de nos séries, il n’y aura qu’à com-