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donc

${\begin{aligned}\mu ^{2}=&{\frac {4\mu u+b\mathrm {F} }{f}},\\\mu ^{4}=&{\frac {64\mu u^{3}}{f^{3}}}+{\frac {16b\mathrm {F} u^{2}}{f^{3}}}+{\frac {8b\mathrm {F} \mu u}{f^{2}}}+{\frac {b^{2}\mathrm {F} ^{2}}{f^{2}}}\,;\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}64&b^{2}\mu u^{3}+16b^{3}\mathrm {F} u^{2}+8fb^{3}\mathrm {F} \mu u+fb^{4}\mathrm {F} ^{2}\\&+4f^{2}g\mu u+f^{2}gb\mathrm {F} +32f^{3}a\mu u-16f^{3}u^{2}+f^{3}b^{2}\mathrm {G} =0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\mu =-{\frac {16\left(b^{3}\mathrm {F} -f^{3}\right)u^{2}+fb^{4}\mathrm {F} ^{2}+f^{2}gb\mathrm {F} +f^{3}b^{2}\mathrm {G} }{64b^{2}u^{3}+4fu\left(2b^{3}\mathrm {F} +gf+8af^{2}\right)}}\,;$

ainsi il n’y aura plus qu’à substituer cette valeur dans la première équation

$f\mu ^{2}-4\mu u-b\mathrm {F} =0,$

et l’on aura cette équation finale

${\begin{aligned}&f\left[16\left(b^{3}\mathrm {F} -f^{3}\right)u^{2}+bf\left(b^{3}\mathrm {F} ^{2}+fg\mathrm {F} +f^{2}b\mathrm {G} \right)\right]^{2}\\+&16\left[16\left(b^{3}\mathrm {F} -f^{3}\right)u^{2}+bf\left(b^{3}\mathrm {F} ^{2}+fg\mathrm {F} +f^{2}b\mathrm {G} \right)\right]\\&\quad \times \left[16b^{2}u^{2}+f\left(2b^{3}\mathrm {F} +gf+8af^{2}\right)\right]u^{2}\\&\quad -16b\mathrm {F} \left[16b^{2}u^{2}+f\left(2b^{3}\mathrm {F} +gf+8af^{2}\right)\right]^{2}u^{2}=0,\end{aligned}}$

laquelle, étant ordonnée par rapport à $u,$ montera au sixième degré et ne contiendra que des puissances paires de $u\,;$ de sorte qu’en faisant $u^{2}=t,$ on aura celle-ci du troisième degré

$t^{3}+\ldots -\left({\frac {b^{3}\mathrm {F} ^{2}+fg\mathrm {F} +f^{2}b\mathrm {G} }{16}}\right)^{2}=0,$

où l’on voit que le dernier terme est un carré avec le signe $-,$ de sorte que la quantité $t$ aura toujours une valeur réelle positive ; on voit de plus qu’à moins qu’on n’ait à la fois $\mathrm {F} =0$ et $\mathrm {G} =0,$ on pourra toujours faire en sorte que $t$ n’ait aucune valeur nulle ; car il n’y aura qu’à prendre $a$ et $b$ de manière qu’on ait

$b^{3}\mathrm {F} ^{2}+fg\mathrm {F} +f^{2}b\mathrm {G} >0\quad {\text{ou}}\quad <0\,;$