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Substituant donc cette valeur de $t$ dans l’équation différentielle

$-{\frac {dy}{y}}={\frac {dx\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}$

du n^o 4, elle deviendra celle-ci

$-{\frac {dy}{y}}={\frac {dx\log 10}{1+{\dfrac {p-qx}{215}}}},$

dont l’intégrale est

$\log {\frac {b}{y}}={\frac {215\log 10}{q}}\log {\frac {k}{1+{\dfrac {p-qx}{215}}}},$

$k$ étant une constante qu’il faut déterminer en sorte que lorsque $y=b$ on ait $x=a,$ ce qui donnera

$\log {\frac {b}{y}}={\frac {215\log 10}{q}}\log {\frac {1+{\dfrac {p-qa}{215}}}{1+{\dfrac {p-qx}{215}}}}\,;$

et de là

${\frac {y}{b}}=\left({\frac {1+{\dfrac {p-qx}{215}}}{1+{\dfrac {p-qa}{215}}}}\right)^{\frac {215\log 10}{q}}=\left(1-{\frac {q}{215}}{\frac {x-a}{1+{\dfrac {c}{215}}}}\right)^{\frac {215\log 10}{q}}\,;$

d’où l’on tire

$x-a=\left(1+{\dfrac {c}{215}}\right){\frac {1-\left({\dfrac {y}{b}}\right)^{\frac {q}{215\log 10}}}{\dfrac {q}{215}}}.$

Si la quantité ${\frac {q}{215\log 10}}$ était infiniment petite, on aurait

$1-\left({\frac {y}{b}}\right)^{\frac {q}{215\log 10}}=-{\frac {q}{215\log 10}}\log {\frac {y}{b}}={\frac {q}{215}}\mathrm {L} {\frac {b}{y}}\,;$

donc

$x-a=\left(1+{\frac {c}{215}}\right)\mathrm {L} {\frac {b}{y}},$