en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \sin z={\frac {u\sin \mathrm {Z} }{1+{\dfrac {x}{r}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ee9e89d74f2ff3e0a0224f13562d73c77e2d6b)
ce qui donnera
![{\displaystyle \operatorname {tang} z={\frac {u\sin \mathrm {Z} }{1+{\dfrac {x}{r}}}}:{\sqrt {1-{\frac {u^{2}\sin ^{2}\mathrm {Z} }{\left(1+{\dfrac {x}{r}}\right)^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34797691d140e15737aa07f0f7497807438513c)
de plus, on a par la différentiation
![{\displaystyle {\frac {du}{u}}=-\lambda d{\frac {y\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1287b553bb0f1db2b1343b8bdf8be4bbc6d061)
donc, substituant ces valeurs dans l’expression de
trouvée ci-dessus, il viendra
![{\displaystyle d\rho ={\frac {\sin \mathrm {Z} du}{1+{\dfrac {x}{r}}}}:{\sqrt {1-{\frac {u^{2}\sin ^{2}\mathrm {Z} }{\left(1+{\dfrac {x}{r}}\right)^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6471b49e6d55d6532941e20f3a7724a31341bc)
d’où l’on tirera par l’intégration la valeur de
en observant que
doit être égal à zéro lorsque
auquel cas on a ![{\displaystyle u=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf96022d52991f0e22136e0067b7a2ca1b6d3ef)
Je remarque d’abord que le terme
est nécessairement fort petit vis-à-vis de
car
étant le rayon de la Terre, et la plus grande valeur de
devant être la hauteur de l’atmosphère, la plus grande valeur de
sera le rapport de la hauteur de l’atmosphère au rayon de la Terre, rapport qui, par l’observation des crépuscules, est
![{\displaystyle \mathrm {sec} .9^{\circ }-1=0{,}012\,462\,5<{\frac {1}{80}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ce002cb512daf757e542b81bbf6c8b44d44b0b)
Quand on voudrait même supposer que ce rapport est trop faible de moitié, et qu’il doit être porté à
il resterait toujours assez petit pour pouvoir être négligé vis-à-vis de
sans qu’il y ait d’erreur sensible à craindre.
Mais comme dans l’intégration la valeur de
doit augmenter depuis