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et $c$ le degré du thermomètre de Réaumur au-dessus de $16^{\circ }{\tfrac {3}{4}}$ dans le lieu de l’observation. À l’égard de la fraction très-petite, on pourra la déterminer à posteriori, d’après les observations.

Pour faire usage de cette formule, on remarquera que $10^{\frac {\lambda b}{1+{\frac {c}{215}}}}$ est le nombre qui répond au logarithme tabulaire ${\frac {\lambda b}{1+{\dfrac {c}{215}}}}\,;$ en sorte qu’on pourra la représenter plus commodément de cette manière

$\rho =\operatorname {arc} \sin \left({\frac {\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }}\times \mathrm {N.L} {\frac {\lambda b}{1+{\dfrac {c}{215}}}}\right)-\operatorname {arc} \sin {\frac {\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }}.$

13. Supposons le baromètre à $28$ pouces et le thermomètre à $10$ degrés, on aura dans ce cas

$b=12\times 28=336,\quad c=10-16{\tfrac {3}{4}}=-6{\tfrac {3}{4}},$

et l’on trouvera

${\frac {\lambda b}{1+{\dfrac {c}{215}}}}={\frac {336\times 860\lambda }{833}}=0{,}000\,143\,38\,;$

et le nombre qui répondra à celui-ci comme logarithme sera

$1{,}000\,330\,201\,;$

c’est la valeur de $\mathrm {N.L} {\frac {\lambda b}{1+{\dfrac {c}{215}}}},$ et son logarithme sera $0{,}000\,143\,4.$

Maintenant soit, pour cette constitution de l’air, la réfraction horizontale égale à $\omega ,$ on aura, en faisant dans la formule précédente $\mathrm {Z} =90^{\circ }$ et $\rho =\omega ,$ l’équation

$\omega =\operatorname {arc} \sin {\frac {1{,}000\,330\,2}{1+\alpha }}-\operatorname {arc} \sin {\frac {1}{1+\alpha }}\,;$

d’où l’on tirera la valeur de $\alpha .$ Pour cela, on mettra cette équation sous la forme

${\frac {1{,}000\,330\,2}{1+\alpha }}=\sin \left(\omega +\operatorname {arc} \sin {\frac {1}{1+\alpha }}\right)=\sin \omega {\sqrt {1-{\frac {1}{(1+\alpha )^{2}}}}}+{\frac {\cos \omega }{1+\alpha }}\,;$