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16. Cette formule s’accorde avec celle que M. Simpson a trouvée d’après l’hypothèse que la densité de l’air diminue à très-peu près en progression arithmétique ; en effet, la supposition que nous avons faite de

$1+{\frac {x}{r}}=u^{m}={\frac {e^{\frac {m\lambda b\log 10}{1+{\frac {c}{215}}}}}{e^{\frac {m\lambda y\log 10}{1+{\frac {t}{215}}}}}},$

donne, en prenant les logarithmes,

${\frac {m\lambda b\log 10}{1+{\dfrac {c}{215}}}}-{\frac {m\lambda y\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}=\log \left(1+{\frac {x}{r}}\right)\,;$

or la quantité ${\frac {m\lambda y\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}$ est (3 et 4) proportionnelle à la densité de l’air à la hauteur $x\,;$ d’où l’on voit que la différence des densités de l’air à la surface de la Terre et à une hauteur quelconque $x$ sera proportionnelle à $\log(1+{\frac {x}{r}})$ ou, à très-peu près, à ${\frac {x}{r}}\,;$ mais cette hypothèse me paraît trop contraire aux observations pour pouvoir être admise.

M. Simpson détermine les coefficients de sa formule en sorte que $\mathrm {Z} =90^{\circ }$ donne $\rho =33',$ et $\mathrm {Z} =60^{\circ }$ donne $\rho =1'30'',$ et il trouve

$m-1={\frac {11}{2}},\quad \mathrm {N.L} {\frac {(1-m)\lambda b}{1+{\dfrac {c}{215}}}}=\sin 86^{\circ }58'{\tfrac {1}{2}}=0{,}9986\ldots .$

On aurait donc

$-{\frac {11\lambda b}{2\left(1+{\dfrac {c}{215}}\right)}}=\log 86^{\circ }58'30''=-1+0{,}999\,394\,4\,;$

donc

${\frac {11\lambda b}{2\left(1+{\dfrac {c}{215}}\right)}}=1-0{,}999\,394\,4=0{,}000\,603\,6,$

et de là on trouvera

${\frac {b}{1+{\dfrac {c}{215}}}}=266{,}40.$