Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/55

et ensuite sous celle-ci

${\frac {b}{c}}-t-{\frac {at^{\frac {1}{1-n}}}{c}}=0,$

en faisant $t=x^{n-1},$ et par conséquent $x=t^{\frac {1}{n-1}}.$

Or, cette équation étant de la même forme que la précédente en $x,$ on pourra faire usage de la même formule pour en tirer la valeur de $t\,;$ on mettra donc $b$ à la place de $a,$ $c$ à la place de $b,$ $a$ à la place de $c,$ et changeant $x$ en $t,$ et $n$ en ${\frac {1}{1-n}},$ on aura, en général,

$t^{m}={\frac {b^{m}}{c^{m}}}\left[1-{\frac {mab^{\frac {n}{1-n}}}{c^{\frac {1}{1-n}}}}+{\frac {m\left(m+{\cfrac {1+n}{1-n}}\right)a^{2}b^{\frac {2n}{1-n}}}{2c^{\frac {2}{1-n}}}}\right.$

$\left.-{\frac {m\left(m+{\cfrac {2+n}{1-n}}\right)\left(m+{\cfrac {1+2n}{1-n}}\right)a^{3}b^{\frac {3n}{1-n}}}{2.3.c^{\frac {3}{1-n}}}}\right].$

Or, puisque $t=x^{n-1},$ mettons ${\frac {m}{n-1}}$ à la place de $m,$ et faisant, pour plus de simplicité,

$\left({\frac {b}{c}}\right)^{\frac {1}{1-n}}=\rho ,$

nous aurons

$x^{m}=$

$\rho ^{m}\left[1-{\frac {ma}{(n-1)b\rho }}+{\frac {m(m-n-1)a^{2}}{2(n-1)^{2}b^{2}\rho ^{2}}}-{\frac {m(m-n-2)(m-2n-1)a^{2}}{2.3.(n-1)^{3}b^{3}\rho ^{3}}}+\ldots \right].$

Or, puisque la quantité $\rho$ est égale à la racine $(n-1)$^ième de ${\frac {b}{c}},$ elle aura $n-1$ valeurs différentes, qui pourront s’exprimer en général de cette manière

$\rho =\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n-1}}+\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n-1}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n-1}]{\frac {b}{c}}},$

$\lambda$ étant égal à $1,$ ou $2,$ ou $3,$ ou …, jusqu’à $n-1.$

Donc, substituant cette expression de $\rho$ dans la formule précédente,