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donne celle-ci

$\mathrm {M} \left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)+p{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}-q{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}=0,$

laquelle, en substituant pour ${\frac {d\mathrm {M} }{dx}}$ et ${\frac {d\mathrm {M} }{dy}}$ leurs valeurs données par les deux premières, devient

$\mathrm {M} \left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)-p{\frac {d(\mathrm {M} q)}{du}}+q{\frac {d(\mathrm {M} p)}{du}}=0,$

c’est-à-dire, en effaçant ce qui se détruit et divisant le reste par $\mathrm {M} ,$

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-p{\frac {dq}{du}}+q{\frac {dp}{du}}=0\,;$

or, comme $q$ est (hypothèse) une fonction donnée de $x,y,u$ et $p,$ cette équation ne contiendra plus que l’inconnue $p\,;$ et la difficulté sera réduite à déterminer par son moyen la valeur de $p$ en $u,x,y.$

3. Quoique de cette manière on ait trouvé l’équation qui doit servir à déterminer $p,$ il paraît qu’on n’a guère avancé dans la solution du Problème proposé ; car au lieu qu’on avait une équation entre $x,y,u$, ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}}$ pour la détermination de $u,$ on en a maintenant une entre $x,y,u,p,$ ${\frac {dp}{dx}},{\frac {dp}{dy}},{\frac {dp}{du}}$ pour la détermination de $p,$ laquelle, à la considérer, en général, doit être au moins aussi difficile à résoudre que celle-là, si même elle ne l’est pas davantage à cause qu’elle contient une variable de plus. Il y a cependant une circonstance qui doit la faire regarder comme plus simple que la proposée, c’est que les différentielles $dp$ et $dq$ n’y paraissent que sous une forme linéaire ; d’ailleurs nous remarquerons qu’il ne sera pas nécessaire de résoudre cette équation d’une manière complète, mais qu’il suffira de trouver une valeur quelconque de $p$ qui y satisfasse, pourvu qu’elle contienne une constante arbitraire ; car nous ferons voir bient\delta t comment, à l’aide d’une telle valeur de $p,$ on pourra néanmoins parvenir à la solution générale et complète de l’équation proposée.