4. Pour faire voir d’une manière encore plus directe comment l’équation que nous venons de trouver pour la détermination de
peut servir à résoudre le Problème dont il s’agit, reprenons l’équation
![{\displaystyle du-pdx-qdy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947b1638fd09e5b64d82b38340d2fbd70d0d5111)
dans laquelle
est une fonction donnée de
et où
est supposé une fonction de
telle, que l’équation soit intégrable, soit d’elle-même, soit à l’aide d’un multiplicateur quelconque. Qu’on suppose que l’une des trois variables
devienne constante, par exemple
en sorte qu’on ait l’équation à deux variables
![{\displaystyle pdx+qdy=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c137cd0dfa67889f5c836dd38a8a763c5a8911)
soit
le facteur qui rendra la différentielle
intégrable (facteur qu’on peut toujours trouver à posteriori dès qu’on aura intégré l’équation
) ; on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {L} (pdx+qdy)=dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b438343aae0fc77eaff2684aef33c92fae539c)
étant une fonction de
et de
dans laquelle
entrera aussi comme constante ; par conséquent on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} p={\frac {dt}{dx}},\quad \mathrm {L} q={\frac {dt}{dy}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58009a89076bc0a2c47eb55168124b8038950025)
mais en regardant
et
comme variables à la fois, on a, pour la valeur complète de la différentielles ![{\displaystyle dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993271528b71660c0c4282c0d0b0f4cbf88e5e74)
![{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}dx+{\frac {dt}{dy}}dy+{\frac {dt}{du}}du\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e216511103473637ec8e84ec92447aa1cb845dd7)
donc on aura
![{\displaystyle dt=\mathrm {L} pdx+\mathrm {L} qdy+{\frac {dt}{du}}du\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5278e0fc581736185079c3150eb3e7ade14e23b4)
ainsi l’équation
![{\displaystyle du-pdx-qdy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947b1638fd09e5b64d82b38340d2fbd70d0d5111)
étant multipliée par
deviendra celle-ci
![{\displaystyle \left(\mathrm {L} +{\frac {dt}{du}}\right)du-dt=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a9a6bb23dae3d05410346918b584362afadda6)