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qui devra donc être intégrable. Or comme $t$ est une fonction connue de $u,x,y,$ on aura réciproquement $x$ égale à une fonction connue de $t,u,y,$ de sorte qu’on pourra introduire la variable $t$ à la place de la variable $x\,;$ qu’on fasse donc cette substitution dans la quantité $\mathrm {L} +{\frac {dt}{du}},$ et comme l’équation ne contient que les deux différentielles $du$ et $dt,$ il est clair qu’elle ne pourra être intégrable à moins que la variable $y$ ne disparaisse entièrement de la quantité $\mathrm {L} +{\frac {dt}{du}}.$ Supposons, pour abréger, cette quantité égale à $\mathrm {P} ,$ et il faudra qu’en substituant dans $\mathrm {P} ,$ à la place de $x,$ sa valeur en $y,u$ et $t,$ la variable $y$ s’en aille en même temps que $x\,;$ donc aussi si, dans la différentielle

$d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+{\frac {d\mathrm {P} }{du}}du,$

on substitue pour $dx$ sa valeur tirée de l’équation

$dt=\mathrm {L} pdx+\mathrm {L} qdy+{\frac {dt}{du}}du,$

il faudra que la différentielle $dy$ disparaisse ; mais, la substitution faite, on a

$d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {dt-\mathrm {L} qdy-{\dfrac {dt}{du}}du}{\mathrm {L} p}}+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+{\frac {d\mathrm {P} }{du}}du\,;$

savoir

$d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {dt}{\mathrm {L} p}}+\left({\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-{\frac {q}{p}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)dy+\left({\frac {d\mathrm {P} }{du}}-{\frac {dt}{du}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {1}{\mathrm {L} p}}\right)du\,;$

donc il faudra qu’on ait

${\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-{\frac {q}{p}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}=0.$

Or

$\mathrm {P=L} +{\frac {dt}{du}}\,;$

donc on aura cette équation de condition

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+{\frac {d^{2}t}{dudy}}-{\frac {q}{p}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+{\frac {d^{2}t}{dudx}}\right)=0\,;$