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à laquelle il est visible que satisfait cette valeur

$p=\mathrm {une\ const} .$

On aura donc ainsi

$p=\alpha \quad {\text{et}}\quad q=\mathrm {A}$

($\mathrm {A}$ étant ce que devient $\mathrm {P}$ lorsque $\mathrm {P} =\alpha$), d’où l’on voit que la différentielle

$du-pdx-qdy$

deviendra

$du-\alpha dx-\mathrm {A} dy,$

laquelle est évidemment intégrable d’elle-même. Intégrant donc un aura

$u-\alpha x-\mathrm {A} y=\mathrm {N} \,;$

de là, en faisant varier $\alpha ,$ on aura

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-x-\mathrm {A} 'y$

($\mathrm {A} '$ étant égal à ${\frac {d\mathrm {A} }{d\alpha }}$) ; donc

$-x-\mathrm {A} 'y=f'(\alpha ),$

équation d’où l’on tirera la valeur de $\alpha$, qui étant ensuite substituée dans l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0,$

ou bien

$u-\alpha x-\mathrm {A} y-f(\alpha )=0,$

donnera la valeur complète de $u.$

Deuxième Cas. — Lorsque $q$ est une fonction de $p$ et de $y.$

Soit $\mathrm {P}$ une fonction de $p$ et de $y,$ en sorte que

$d\mathrm {P} =\mathrm {P} 'dq+\mathrm {Q} dy,$

et supposons

$q=\mathrm {P} \,;$