l’équation de condition deviendra la même que ci-dessus, à cause que
![{\displaystyle {\frac {dq}{dx}}=\mathrm {P} '{\frac {dp}{dx}},\quad {\frac {dq}{du}}=\mathrm {P} '{\frac {dp}{du}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4ad3d6894a69204f3657f84cfa17674bf7e78e)
ainsi l’on y pourra satisfaire en prenant de même
![{\displaystyle p=\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bec87a7ae61a5b0e4469384ca6f96c531ea61a0)
ce qui rendra
égal à une fonction de
seul ; de sorte que la quantité
![{\displaystyle du-pdx-qdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc52aa54770fa4395ea21dca2fed8159faca013)
savoir
![{\displaystyle du-\alpha dx-\mathrm {P} dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7a6e6556307c08a2a480d17d7ed07861dc9261)
sera intégrable d’elle-même, et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {N} =u-\alpha x-\int \mathrm {P} dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd498ae2d3cd604550f8acd7ac5ec3998064f02)
de là on tirera
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-x-\int {\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102fbed84b8e15d0fa233a517415e0405b0c3ce3)
par conséquent on aura l’équation
![{\displaystyle f'(\alpha )=-x-\int {\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7fac7b9ad4d82002840a2d53edf8c9a70c7b0c)
laquelle servira à déterminer
ensuite de quoi on aura
par l’équation
![{\displaystyle \mathrm {N} -f(\alpha )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0a5c1c6ea0f7ec8ded49b7cd227749420b810a)
ou bien
![{\displaystyle u-\alpha x-\int \mathrm {P} dy-f(\alpha )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cd215e0ed97861b3e08e02a62a9ac6a4af9f37)
Troisième Cas. — Lorsque
est une fonction de
et de
Dans ce cas il est clair que la valeur de
sera réciproquement exprimée par une fonction de
et
donc regardant
comme l’inconnue, et supposant
une fonction de
et
on aura
![{\displaystyle p=\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c81d4ada6ae58281666c73d556845113827b38)