on aura, en divisant par
l’équation
![{\displaystyle du+{\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {M} }}+{\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {M} }}+{\frac {\mathrm {R} dz}{\mathrm {M} }}+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e39921ca8c8f74e902126bb3f371322989e8411)
en sorte que
![{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-\mathrm {\frac {P}{M}} ,\quad {\frac {du}{dy}}=-\mathrm {\frac {Q}{M}} ,\quad {\frac {du}{dz}}=-\mathrm {\frac {R}{M}} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb002ca6d284e3ed493d4b0abffa3537bb78dc11)
et ces valeurs seront telles, qu’elles satisferont par l’hypothèse à l’équation donnée. Maintenant, comme la solution du Problème dépend uniquement de ce que l’équation précédente devient intégrable étant multipliée par le facteur
c’est-à-dire de ce que
![{\displaystyle \mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a82d25d4f066ee337c9244bc58c1094ea9b243)
est une différentielle complète de
il est clair que la solution aura lieu de même si les quantités
au lieu d’être constantes, sont variables, pourvu que la même différentielle continue à être complète or l’intégrale de cette différentielle, tant que
sont constantes, est
en sorte qu’on a dans cette hypothèse
![{\displaystyle \mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots =d\mathrm {V} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5703367e19565df695cf450974bc8469116a360)
mais si l’on regarde comme variable, alors on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots +{\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}d\beta =d\mathrm {V} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf6239beb6544d19e58c4fa0c98797c8a687d88)
donc
![{\displaystyle \mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots =d\mathrm {V} -{\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}d\beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8076287d66d339ac479f87b6dbe55dac5d932721)
donc comme
est par elle-même une différentielle complète, il faudra que
soit aussi une quantité intégrable d’elle-même, ce qui ne peut avoir lieu à moins que
ne soit égal à une fonction quelconque de
Ainsi supposant
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}=f(\beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c718687a9d0bfe933e9e2bdb3aa5f7269fb5bcc1)
et tirant de cette équation la valeur de
on pourra la substituer à la place de
et l’on aura, au lieu de l’équation
celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {V-B} =\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ed06923a0c6f3f789cd825c1c6d1dd8f89aa70)