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$\mathrm {B}$ étant égal à $\int f(\beta )d\beta ,$ où il faut remarquer que les quantités $\gamma ,\ldots$ peuvent entrer d’une manière quelconque en qualité de constantes dans la fonction $f(\beta ),$ et par conséquent aussi dans la fonction $\mathrm {B} .$ Maintenant on pourra rendre de même variable la quantité $\gamma$ contenue dans $\mathrm {V}$ et $\mathrm {B} ,$ en prenant

{\frac {d(\mathrm {V-B} )}{d\gamma }}=f(\gamma ),

ce qui détermine $\gamma \,;$ et substituant ensuite cette valeur de $\gamma ,$ on aura l’équation

\mathrm {V-B-C} =\alpha ,

où $\mathrm {C} =\int f(\gamma )d\gamma ,$ et ainsi de suite.

Par ce moyen l’intégrale incomplète

\mathrm {V} =\alpha

deviendra de la forme

\mathrm {V-B-C} -\ldots =\alpha ,

et sera nécessairement complète, puisqu’elle contiendra autant de fonctions arbitraires qu’il y a de variables $x,y,z,\ldots$ moins une^[1].

13. Pour faire voir l’usage de cette méthode par un exemple très général, supposons que $\mathrm {X}$ soit une fonction de ${\frac {du}{dx}}$ et $x,$ que $\mathrm {Y}$ en soit une de ${\frac {du}{dy}}$ et $y,$ que $\mathrm {Z}$ en soit une de ${\frac {du}{dz}}$ et $z,$ et ainsi de suite, et que l’on ait une équation donnée entre $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ,$ d’où il faille tirer la va-

↑ L’analyse qui vient d’être développée conduit assurément à l’intégrale générale de l’équation proposée, mais cette intégrale ne contient pas, comme le dit ici par inadvertance l’illustre Auteur, autant de fonctions arbitraires moins une qu’il y a de variables indépendantes. Dans la formule obtenue par Lagrange, il n’y a en réalité qu’une seule fonction arbitraire, $\mathrm {B+C} +\ldots +\alpha ,$ laquelle dépend des quantités $\beta ,\gamma ,\ldots .$ Si l’on représente cette fonction par $f(\beta ,\gamma ,\ldots ),$ l’intégrale générale de l’équation proposée sera le résultat de l’élimination de $\beta ,\gamma ,\ldots$ entre l’équation
$\mathrm {V} =f(\beta ,\gamma ,\ldots )$

et les suivantes

${\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}={\frac {df}{d\beta }},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d\gamma }}={\frac {df}{d\gamma }},\ldots .$

(Note de l’Éditeur.)

[1] L’analyse qui vient d’être développée conduit assurément à l’intégrale générale de l’équation proposée, mais cette intégrale ne contient pas, comme le dit ici par inadvertance l’illustre Auteur, autant de fonctions arbitraires moins une qu’il y a de variables indépendantes. Dans la formule obtenue par Lagrange, il n’y a en réalité qu’une seule fonction arbitraire, $\mathrm {B+C} +\ldots +\alpha ,$ laquelle dépend des quantités $\beta ,\gamma ,\ldots .$ Si l’on représente cette fonction par $f(\beta ,\gamma ,\ldots ),$ l’intégrale générale de l’équation proposée sera le résultat de l’élimination de $\beta ,\gamma ,\ldots$ entre l’équation
$\mathrm {V} =f(\beta ,\gamma ,\ldots )$

et les suivantes

${\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}={\frac {df}{d\beta }},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d\gamma }}={\frac {df}{d\gamma }},\ldots .$

(Note de l’Éditeur.)

[1]