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2^o Pour trouver maintenant les autres racines, on prendra les deux termes $-bx+cx^{n}$ pour les premiers de la formule générale, en donnant à l’équation cette forme

$b-cx^{n-1}-ax^{-1}+ex^{s-1}=0.$

On fera ensuite $x^{n-1}=t,$ ce qui la ramènera à la même forme que celle de l’Exemple cité ; ou bien, ce qui revient au même, on comparera cette équation à celle de l’Exemple VII, en faisant

$\alpha ={\frac {b}{c}},\quad \beta ={\frac {-a}{c}},\quad \gamma ={\frac {e}{c}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$r=n-1,\quad p=-1,\quad q=s\,;$

et l’on aura sur-le-champ la valeur d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\rho }},$

$\rho \mathrm {\ {\acute {e}}tant\ } ={\sqrt[{r}]{\alpha }}=\left({\frac {b}{c}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\,;$

ainsi, donnant à $\rho$ les $r$ valeurs que cette quantité peut avoir, et qui s’expriment, en général, de cette manière

$\rho =\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}+\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{r}]{\alpha }},$

$\lambda$ étant égal à $1,$ ou $2,$ ou $3,$ etc., jusqu’à $r,$ on aura $r$ ou $n-1$ formules différentes qui se rapporteront à la seconde, ou à la troisième, etc., jusqu’à la $n$^ième racine inclusivement de l’équation dont il s’agit.

3^o On prendra enfin les deux derniers termes $cx^{n}-ex^{s}$ pour les premiers, en écrivant l’équation ainsi

$c-ex^{s-n}-bx^{1-n}+ax^{-n}=0\,;$

laquelle étant comparée de même à l’équation de l’Exemple VII, on aura

$\alpha ={\frac {c}{e}},\quad \beta =-{\frac {b}{e}},\quad \gamma ={\frac {a}{e}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$s-n=r,\quad 1-n=p,\quad q=1\,;$