Or,
donc, si l’on met
\frac{m}{n}
à la place de
et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle \left({\frac {a}{-c}}\right)^{\frac {1}{n}}=\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba810580acc4d367d5ad2db21e322f5f787c2622)
on aura
![{\displaystyle x^{m}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0c94000349b5610a79b10cd3b61ee5f8aa0d9c)
![{\displaystyle \rho ^{m}\left[1-{\frac {mb\rho }{na}}+{\frac {m(m+2-n)b^{2}\rho ^{2}}{2n^{2}a^{2}}}-{\frac {m(m+3-n)(m+3-2n)b^{3}\rho ^{3}}{2.3.n^{3}a^{3}}}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f8528594de89e6702e9732e9506a3e8b337d16)
Mais on a, en général
![{\displaystyle \rho =\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}+\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\frac {a}{-c}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcc2d095836671a6f87e31b8bfa85836b2643d2)
étant égal à
ou
ou
ou …, jusqu’à
donc, suhstituant cette valeur de
dans l’expression précédente, on aura
valeurs différentes de
qui seront celles de ![{\displaystyle x_{1}^{m},x_{2}^{m},x_{3}^{m},\ldots ,x_{n}^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6cc25789de66b23ef07945732066571247815c)
Problème III.
36. On demande toutes les racines de l’éguation
![{\displaystyle a-bx+cx^{n}-ex^{s}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e1bb451b707dd5dc52d8779ad7c7174d17043c)
et
étant des nombres entiers positifs, et ![{\displaystyle s>n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c3c6784759101fa24c0e02f94d06a27c22b557)
Première Solution. — 1o Puisque cette équation peut se rapporter à celle de l’Exemple VI du no 21, en faisant
![{\displaystyle \alpha ={\frac {a}{b}},\quad \beta ={\frac {c}{b}},\quad \gamma =-{\frac {e}{b}},\quad \delta =0,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e3df66e1ab3d51d69e68a0276c7af5ba418fb5)
![{\displaystyle p=n,\quad q=s-n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd74cca51865c6a29e443b8e5b7530fc2c2033ec)
il n’y aura qu’à faire ces substitutions dans les formules de cet Exemple, et l’on aura sur-le-champ l’expression d’une fonction quelconque de
où
sera nécessairement la première racine de l’équation proposée (34).